倍数・約数と分数のたし算・ひき算

$3$ に整数を順にかけてできる数、$3, 6, 9, 12, 15, \ldots$ を $3$ の倍数といいます。$3 \times 1 = 3$、$3 \times 2 = 6$、$3 \times 3 = 9$ というように、九九の「3のだん」をどこまでもつづけていくイメージです。倍数は、いくらでも大きくなるので、数えきれないほどたくさんあります。

$2$ と $3$ のように、2つの数があるとき、どちらの倍数にもなっている数を公倍数(みんなに共通な倍数)といいます。たとえば $6$ は、$2$ の倍数でもあり $3$ の倍数でもあるので、$2$ と $3$ の公倍数です。公倍数のうち、いちばん小さいものを最小公倍数といいます。

最小公倍数をはやく見つけるコツは、大きいほうの数の倍数だけを書き出して、それが小さいほうの数の倍数になっているかを順に調べることです。$4$ と $6$ なら、$6$ の倍数 $6, 12, \ldots$ を順に見て、「$6$ は $4$ でわり切れない、$12$ は $4$ でわり切れる」となるので、$12$ が最小公倍数だとすぐに分かります。

$12$ を、あまりが出ないようにわり切ることができる整数、$1, 2, 3, 4, 6, 12$ を、$12$ の約数といいます。たとえば $12$ 個のあめを $3$ 人で分けると、$12 \div 3 = 4$ で1人 $4$ 個ずつ、ぴったり分けられます。だから $3$ は $12$ の約数です。

約数をもれなく見つけるコツは、かけ算で「ペア」をつくることです。$12$ なら、$1 \times 12$、$2 \times 6$、$3 \times 4$ という3つのペアが見つかるので、約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ の6個です。小さいほうから順にペアの相手を書いていけば、見落としがなくなります。

倍数は「かけて大きくしていく」、約数は「わり切れるかを調べる」と覚えましょう。倍数はいくらでもありますが、約数はその数以下しかないので、数は決まっています。

$\frac{1}{2}$ と $\frac{2}{4}$ は、見た目はちがいますが、大きさは同じです。1本のようかんを半分にした1切れと、4等分した2切れ分は、同じ量だからです。このように、分母(下の数)と分子(上の数)に同じ数をかけても、同じ数でわっても、分数の大きさは変わりません。

通分するときに、分母どうしをただかけ算して $4 \times 6 = 24$ にそろえることもできますが、最小公倍数の $12$ にそろえたほうが数が小さくなり、あとの計算やまちがい直しがぐっと楽になります。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ のように分母がちがう分数は、そのままではたせません。$\frac{1}{2}$ は「2等分した1つ分」、$\frac{1}{3}$ は「3等分した1つ分」で、1つ分の大きさがちがうからです。そこで、まず通分して分母をそろえ、それから分子どうしを計算します。

ひき算で分数の部分がひけないときは、整数から $1$ をくり下げます。たとえば $3\frac{1}{4} - 1\frac{2}{3}$ は、通分すると $3\frac{3}{12} - 1\frac{8}{12}$ となり、$\frac{3}{12}$ から $\frac{8}{12}$ はひけません。そこで $3\frac{3}{12}$ を $2\frac{15}{12}$ と直してから

と計算します。帯分数を仮分数($\frac{13}{4} - \frac{5}{3} = \frac{39}{12} - \frac{20}{12} = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$)に直して計算する方法もあり、答えは同じになります。