答えと解説

倍数は、その数に $1, 2, 3, \ldots$ を順にかけてできる数です。

(1) $6 \times 1 = 6$、$6 \times 2 = 12$、$6 \times 3 = 18$ なので、小さい順に $6, 12, 18$ です。

(2) $8 \times 1 = 8$、$8 \times 2 = 16$、$8 \times 3 = 24$ なので、小さい順に $8, 16, 24$ です。

$0$ は倍数に入れないことと、その数自身($6$ や $8$)がいちばん小さい倍数になることに気をつけましょう。

(1) 大きいほうの $6$ の倍数を順に調べます。$6$ は $4$ でわり切れません。$12$ は $12 \div 4 = 3$ でわり切れます。だから $4$ と $6$ の最小公倍数は $12$ です。

(2) $5$ の倍数を順に調べます。$5$ も $10$ も $3$ でわり切れませんが、$15$ は $15 \div 3 = 5$ でわり切れます。だから $3$ と $5$ の最小公倍数は $15$ です。

大きいほうの数の倍数から調べると、書き出す数が少なくてすみます。

(1) かけて $18$ になるペアをさがします。$1 \times 18$、$2 \times 9$、$3 \times 6$ の3つのペアが見つかるので、約数は $1, 2, 3, 6, 9, 18$ の6個です。

(2) それぞれの約数を書き出します。

$24$ の約数 … $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

$36$ の約数 … $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$

共通な約数(公約数)は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ で、いちばん大きいのは $12$ です。だから最大公約数は $12$ です。

約数はペアでさがすと、見落としがなくなります。

約分は、分母と分子を公約数でわって、分母を小さくすることです。

(1) $6$ と $8$ の最大公約数は $2$ です。分母と分子を $2$ でわって

(2) $12$ と $18$ の最大公約数は $6$ です。分母と分子を $6$ でわって

小さい公約数でわったときは、「まだわれる数がないかな?」ともう一度たしかめて、それ以上約分できない形まで直しましょう。

$3$ と $4$ の最小公倍数は $12$ なので、分母を $12$ にそろえます。

分母が同じなら、分子が大きいほうが大きい分数です。$8 < 9$ なので、$\frac{9}{12}$、つまり $\frac{3}{4}$ のほうが大きいです。

分子に同じ数をかけるのをわすれて、分母だけそろえてしまうまちがいに気をつけましょう。分母にかけた数と同じ数を、分子にも必ずかけます。

分母がちがうので、まず通分します。

(1) $2$ と $3$ の最小公倍数は $6$ です。

(2) $4$ と $6$ の最小公倍数は $12$ です。

どちらも、これ以上約分できないので、このまま答えになります。分母どうし、分子どうしをそのままたす($\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ とする)のは、よくあるまちがいです。必ず通分してから計算しましょう。

(1) $3$ と $9$ の最小公倍数は $9$ です。$\frac{2}{3}$ だけ直せばよいので

$\frac{10}{9}$ は分子が分母より大きい仮分数なので、帯分数に直すと $1\frac{1}{9}$ です。

(2) $6$ と $10$ の最小公倍数は $30$ です。

$16$ と $30$ の最大公約数は $2$ なので、約分して

(2)のように、計算したあとに約分できることがあります。答えを書く前に「約分できないかな?」と必ずたしかめましょう。

(1) $4$ と $6$ の最小公倍数は $12$ なので、分数の部分を通分します。

整数どうし、分数どうしをたして、$1 + 2 = 3$、$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$。だから答えは $3\frac{5}{12}$ です。

(2) $3$ と $2$ の最小公倍数は $6$ なので、通分すると

$\frac{2}{6}$ から $\frac{3}{6}$ はひけないので、$2\frac{2}{6}$ の整数から $1$ をくり下げて $1\frac{8}{6}$ と直します。

仮分数に直して $\frac{7}{3} - \frac{3}{2} = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{5}{6}$ と計算しても、同じ答えになります。くり下げたとき、整数を $1$ 小さくするのをわすれないようにしましょう。

バスが発車するのは、午前 $9$ 時の $12$ 分後、$24$ 分後、$36$ 分後、…、つまり $12$ の倍数の分後です。電車が発車するのは $8$ 分後、$16$ 分後、$24$ 分後、…、つまり $8$ の倍数の分後です。

同時に発車するのは、$12$ と $8$ の公倍数の分後です。次に同時になるのは最小公倍数の分後なので、$12$ の倍数 $12, 24, \ldots$ を調べると、$24$ は $8$ でわり切れます($24 \div 8 = 3$)。だから最小公倍数は $24$ です。

午前 $9$ 時の $24$ 分後なので、次に同時に発車するのは午前 $9$ 時 $24$ 分です。

「次に同時になるのはいつ?」という問題は、最小公倍数を使うのが決まった考え方です。

あまりが出ないように分けられる人数は、$36$ の約数でもあり $48$ の約数でもある数、つまり $36$ と $48$ の公約数です。「できるだけ多くの子ども」なので、最大公約数を求めます。

$36$ の約数 … $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$

$48$ の約数 … $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$

公約数は $1, 2, 3, 4, 6, 12$ で、最大公約数は $12$ です。だから $12$ 人に分けられます。

1人分は、あめが $36 \div 12 = 3$ 個、チョコレートが $48 \div 12 = 4$ 個です。

「あまりなく分ける」ときは約数(公約数)、「同時・そろう」ときは倍数(公倍数)と、問題の場面で使い分けましょう。

タイルをたてに何まいかならべると、たての長さは $12, 24, 36, \ldots$ と $12$ の倍数になります。よこにならべると、よこの長さは $18, 36, \ldots$ と $18$ の倍数になります。

正方形にするには、たてとよこの長さが同じにならなければいけないので、1辺は $12$ と $18$ の公倍数です。「できるだけ小さい正方形」なので、最小公倍数を求めます。$18$ の倍数を順に調べると、$18$ は $12$ でわり切れませんが、$36$ は $36 \div 12 = 3$ でわり切れます。だから1辺は $36$ cm です。

タイルのまい数を数えます。たての方向には $36 \div 12 = 3$ まい、よこの方向には $36 \div 18 = 2$ れつならぶので

タイルは全部で $6$ まいです。

1辺の長さだけ答えて、まい数のかけ算をわすれてしまうことが多いので、問われていることを最後にもう一度たしかめましょう。

残りの長さは、はじめの長さから使った分をひいて求めます。式は

分母の $2$、$6$、$3$ の最小公倍数は $6$ なので、全部分母 $6$ に通分します。

順にひいていきます。まず $2\frac{3}{6} - \frac{5}{6}$ は、$\frac{3}{6}$ から $\frac{5}{6}$ がひけないので、整数から $1$ をくり下げて $1\frac{9}{6}$ と直すと

次に

だから、残りは $1$ m です。

たしかめ: 使った長さの合計は $\frac{5}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = 1\frac{1}{2}$ m。$1\frac{1}{2} + 1 = 2\frac{1}{2}$ m で、はじめの長さとぴったり合います。

2回ひく問題では、先に使った分をまとめてたしてから1回でひく方法もあります。答えに m の単位をつけるのをわすれないようにしましょう。