小数のかけ算・わり算

小数×小数、小数÷小数の計算のしかたと文章題をまなびます。

小数×小数

1mのねだんが80円のリボンを2.3m買うと、代金はいくらになるでしょうか。長さが2mなら $80 \times 2$ 、3mなら $80 \times 3$ です。だから2.3mのときも、同じように $80 \times 2.3$ というかけ算の式に表せます。

このように、かける数が小数になっても、「1つ分の大きさ × いくつ分」という考え方は変わりません。では、小数のかけ算はどうやって計算すればよいのでしょうか。

ポイントは、小数を整数(せいすう)になおして計算することです。たとえば $80 \times 2.3$ では、2.3を10倍して23にすると、整数のかけ算 $80 \times 23 = 1840$ ができます。かける数を10倍したので、答えは10でわってもとにもどします。

80 \times 2.3 = 1840 \div 10 = 184

代金は184円です。「10倍して計算したら、答えを10でわってもどす」というのが小数のかけ算の考え方です。

小数×小数の計算のしかた

1. 小数点がないものとして、整数のかけ算をする

2. 積(かけ算の答え)の小数点は、かけられる数とかける数の、小数点の右にあるけたの数を合わせた数だけ、右から数えてうつ

たとえば $2.3 \times 1.4$ なら、小数点の右のけたは 1けた + 1けた = 2けたなので、積の小数点は右から2けたのところにうちます。

例題1

$2.3 \times 1.4$ を計算しましょう。

解き方

まず、小数点がないものとして整数のかけ算をします。

23 \times 14 = 322

かけられる数2.3は小数点の右が1けた、かける数1.4も小数点の右が1けたです。合わせて2けたなので、322の右から2けたのところに小数点をうちます。

2.3 \times 1.4 = 3.22

2.3はおよそ2、1.4はおよそ1なので、答えはおよそ $2 \times 1 = 2$ くらいのはず。3.22なら大きさもぴったり合っていますね。このように、答えのおよその大きさをたしかめると、小数点のうちまちがいに気づけます。

積の最後が0になるときは注意が必要です。たとえば $0.25 \times 0.4$ は、 $25 \times 4 = 100$ で、小数点の右のけたは 2けた + 1けた = 3けたなので、右から3けたのところに小数点をうって0.100。最後の0を消して、答えは0.1です。小数点をうってから0を消す、という順番をまちがえないようにしましょう。

積の大きさ

1より小さい数をかけると、積はかけられる数より小さくなります。

$6 \times 0.8 = 4.8$ (6より小さい)

$6 \times 1.2 = 7.2$ (6より大きい)

「かけ算なのに答えが小さくなる」のは、0.8倍が「1つ分より少ない」ことを表しているからです。

小数÷小数

こんどは、2.4mで216円のリボンの、1mのねだんを考えます。1mあたりのねだんは「代金 ÷ 長さ」で求められるので、式は $216 \div 2.4$ です。わる数が小数のわり算は、どう計算すればよいでしょうか。

ここで使うのが、わり算の大切な性質です。わられる数とわる数の両方に同じ数をかけても、商(わり算の答え)は変わりません。たとえば $6 \div 2 = 3$ で、両方を10倍した $60 \div 20$ も答えは3のままです。

小数÷小数の計算のしかた

1. わる数が整数になるように、わる数とわられる数の両方を10倍、100倍…する(小数点を同じ数だけ右へうつす)

2. 整数でわるわり算として計算する

3. 商の小数点は、うつしたあとのわられる数の小数点にそろえてうつ

例題2

$216 \div 2.4$ を計算しましょう。

解き方

わる数2.4を10倍して24にします。わられる数216も同じように10倍して2160にします。

216 \div 2.4 = 2160 \div 24

$24 \times 90 = 2160$ なので、 $2160 \div 24 = 90$ 。

答えは90です。つまりこのリボンは1mあたり90円です。たしかめもしましょう。 $2.4 \times 90 = 216$ となり、ぴったり合います。

例題3

$8.64 \div 2.4$ を計算しましょう。

解き方

わる数2.4が整数になるように、両方を10倍します。

8.64 \div 2.4 = 86.4 \div 24

$24 \times 3 = 72$ 、 $86.4 - 72 = 14.4$ 、 $24 \times 0.6 = 14.4$ なので、

86.4 \div 24 = 3.6

商の小数点は、うつしたあとのわられる数86.4の小数点にそろえます。たしかめは $2.4 \times 3.6 = 8.64$ で、ぴったり合いますね。

商の大きさ

1より小さい数でわると、商はわられる数より大きくなります。

$6 \div 0.5 = 12$ (6より大きい)

「6Lの水を0.5Lずつ分けると12こに分けられる」と考えると、答えが大きくなる理由がイメージできます。

あまりのあるわり算と、商をがい数で求める計算

「2.5Lのジュースを0.7Lずつコップに分けると、何ばい分できて何Lあまるか」のように、商を整数で求めてあまりを出す場合があります。このとき、いちばんまちがえやすいのがあまりの小数点の位置です。

あまりの小数点

商の小数点は「うつしたあと」のわられる数にそろえますが、あまりの小数点は「うつす前」のもとのわられる数の小数点にそろえます。

計算のあとは、次の2つをたしかめましょう。

1. あまりは、わる数より小さくなっているか

2. わる数 × 商 + あまり = わられる数になっているか(検算)

例題4

2.5Lのジュースを0.7Lずつコップに分けます。何ばい分できて、何Lあまりますか。

解き方

式は $2.5 \div 0.7$ です。両方を10倍して $25 \div 7$ として計算すると、商は3で、 $25 - 21 = 4$ があまりに見えます。

でも、あまりの小数点はもとのわられる数2.5にそろえるので、あまりは4ではなく0.4です。

2.5 \div 0.7 = 3 \ あまり \ 0.4

答えは、3ばい分できて0.4Lあまります。たしかめると、あまり0.4はわる数0.7より小さく、 $0.7 \times 3 + 0.4 = 2.1 + 0.4 = 2.5$ でぴったり合います。もしあまりを4としてしまうと、わる数0.7よりずっと大きくなるのでおかしい、と気づけますね。

小数のわり算では、いつまで計算してもわり切れないことがあります。そんなときは、商をがい数(およその数)で求めます。「上から2けたのがい数で求めましょう」といわれたら、上から3けた目を四捨五入(ししゃごにゅう)します。

例題5

$1.7 \div 0.3$ の商を、四捨五入して上から2けたのがい数で求めましょう。

解き方

両方を10倍して $17 \div 3$ にします。計算を進めると

17 \div 3 = 5.66\cdots

と、6がずっと続いてわり切れません。上から2けたのがい数にするので、上から3けた目の6を四捨五入します。6は5以上なので切り上げて、

1.7 \div 0.3 = 5.66\cdots \rightarrow 約5.7

答えは約5.7です。「上から2けた」なので、答えを5.66のまま止めないように注意しましょう。

小数の計算の文章題

文章題では、まず「ことばの式」を作るのがコツです。たとえば買い物の場面なら

1mあたりのねだん × 長さ = 代金

という関係があります。代金を求めたいならかけ算、1mあたりのねだんを求めたいなら「代金 ÷ 長さ」のわり算になります。数が小数になっても、この関係はまったく同じです。

例題6

1mの重さが2.3kgの鉄のぼうがあります。このぼう3.5mの重さは何kgですか。

解き方

「1mあたりの重さ × 長さ = 全体の重さ」なので、式は

2.3 \times 3.5

小数点がないものとして $23 \times 35 = 805$ 。小数点の右のけたは 1けた + 1けた = 2けたなので、右から2けたに小数点をうって8.05。

答えは8.05kgです。2.3はおよそ2、3.5はおよそ4なので、およそ8kgという見当とも合っています。

「何倍(なんばい)」も、小数で表すことがあります。たとえば「赤いテープ3.6mは、白いテープ2.4mの何倍か」を求めるときは、くらべる量をもとにする量でわります。

3.6 \div 2.4 = 1.5

赤いテープは白いテープの1.5倍です。倍が1.5のような小数になっても、「何倍かを求めるにはわり算」という考え方は変わりません。

倍とかけ算・わり算の3つの形

もとにする量、倍、くらべる量の間には、次の関係があります。

もとにする量 × 倍 = くらべる量

1. くらべる量を求める → かけ算(例: $2.4 \times 1.5 = 3.6$ )

2. 何倍かを求める → くらべる量 ÷ もとにする量(例: $3.6 \div 2.4 = 1.5$ )

3. もとにする量を求める → くらべる量 ÷ 倍(例: $3.6 \div 1.5 = 2.4$ )

どれを求めるのかを、まず文章からはっきりさせましょう。

例題7

ある数を1.4倍すると4.2になります。ある数はいくつですか。

解き方

ある数を□とすると、「もとにする量 × 倍 = くらべる量」だから

\square \times 1.4 = 4.2

□を求めるには、くらべる量を倍でわります。

\square = 4.2 \div 1.4 = 42 \div 14 = 3

ある数は3です。たしかめると $3 \times 1.4 = 4.2$ で、ぴったり合います。「〜倍すると…になる」という文章では、もとにする量がかくれているので、わり算で求めるのがポイントです。

§1小数×小数

§2小数÷小数

§3あまりのあるわり算と、商をがい数で求める計算

§4小数の計算の文章題

小数×小数

小数÷小数

あまりのあるわり算と、商をがい数で求める計算

小数の計算の文章題