分数のかけ算・わり算

分数×整数、分数÷整数

まず、分数に整数をかける計算からはじめましょう。

$\frac{2}{7}$ は「 $\frac{1}{7}$ が 2 こ」という意味でしたね。 $\frac{2}{7} \times 3$ は、 $\frac{1}{7}$ が 2 こ入ったふくろを 3 ふくろ分あつめることなので、 $\frac{1}{7}$ が $2 \times 3 = 6$ こ。つまり $\frac{6}{7}$ になります。分母(下の数)はそのままで、分子(上の数)だけに整数をかければよいのです。

分数×整数、分数÷整数のやり方

かけ算は、分子に整数をかける。

\frac{2}{7} \times 3 = \frac{2 \times 3}{7} = \frac{6}{7}

わり算は、分母に整数をかける。

\frac{4}{5} \div 3 = \frac{4}{5 \times 3} = \frac{4}{15}

わり算のほうも、絵をイメージするとわかります。 $\frac{4}{5} \div 3$ は、 $\frac{4}{5}$ を 3 等分することです。1 を 5 等分したテープの 4 こ分を、さらに 3 等分すると、1 つ分は「1 を $5 \times 3 = 15$ 等分したものが 4 こ」になります。だから分母だけを 3 倍して $\frac{4}{15}$ です。

れい題 1

次の計算をしましょう。
(1) $\frac{3}{8} \times 4$
(2) $\frac{6}{7} \div 2$

解き方

(1) 分子に 4 をかけます。とちゅうで約分(分母と分子を同じ数でわって、かんたんにすること)ができます。

\frac{3}{8} \times 4 = \frac{3 \times 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

(2) 分母に 2 をかけます。 $\frac{6}{7 \times 2} = \frac{6}{14}$ を約分してもよいですが、先に分子の 6 と 2 を約分すると楽です。

\frac{6}{7} \div 2 = \frac{6}{7 \times 2} = \frac{3}{7}

答えは、約分できるところまで約分するのがきまりです。

分数×分数

次は、分数どうしのかけ算です。たとえば「1 dL で $\frac{2}{3}$ m² ぬれるペンキが $\frac{4}{5}$ dL あるとき、ぬれる面積は?」という場面は、式で書くと $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ になります。

1 辺が 1 m の正方形の紙を思いうかべてください。たてを 3 等分、横を 5 等分すると、紙は $3 \times 5 = 15$ この小さな長方形に分かれます。 $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$ は、そのうち「たて 2 こ分、横 4 こ分」の $2 \times 4 = 8$ こ分なので、答えは $\frac{8}{15}$ です。

分数×分数のやり方

分母どうし、分子どうしをかける。

\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}

とちゅうで約分できるときは、かける前に約分すると計算が楽になる。

れい題 2(とちゅうで約分)

$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$ を計算しましょう。

解き方

分母どうし、分子どうしをかけると

\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9}

ここで、かけ算をする前に約分します。分子の 3 と分母の 9 を 3 でわり、分子の 8 と分母の 4 を 4 でわると

\frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}

先に $\frac{24}{36}$ と計算してから約分しても同じ答えになりますが、数が大きくなってまちがえやすいので、先に約分するのがおすすめです。

帯分数(たいぶんすう。 $1\frac{1}{2}$ のように整数と分数が合わさった数)のかけ算は、まず仮分数(かぶんすう。分子が分母より大きい分数)に直してから計算します。

1\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

逆数(ぎゃくすう)

2 つの数のかけ算の答えが 1 になるとき、一方の数をもう一方の数の逆数といいます。

\frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1

だから $\frac{3}{4}$ の逆数は $\frac{4}{3}$ 。分母と分子を入れかえた数が逆数です。

整数や小数は、分数に直してから考えます。 $5 = \frac{5}{1}$ の逆数は $\frac{1}{5}$ 、 $0.7 = \frac{7}{10}$ の逆数は $\frac{10}{7}$ です。

分数÷分数

いよいよ分数のわり算です。結論から言うと、わる数の逆数をかければ計算できます。

\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}

でも、なぜ「ひっくり返してかける」のでしょうか。理由を考えてみましょう。

わり算には、「わられる数とわる数の両方に同じ数をかけても、答えは変わらない」という性質があります。たとえば $6 \div 2 = 3$ で、両方を 10 倍した $60 \div 20$ も 3 です。

この性質を使って、わる数を 1 に変えてしまいます。 $\frac{2}{3} \div \frac{3}{4}$ で、両方に $\frac{3}{4}$ の逆数 $\frac{4}{3}$ をかけると

\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \left( \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \right) \div \left( \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} \right) \div 1 = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3}

1 でわっても数は変わらないので、「 $\frac{3}{4}$ でわる」ことは「 $\frac{4}{3}$ をかける」ことと同じになるのです。

分数÷分数のやり方

わる数の逆数(分母と分子を入れかえた数)をかける。

\frac{2}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{4}

ひっくり返すのは「わる数」だけ。わられる数はそのまま。

れい題 3

$\frac{5}{6} \div \frac{10}{9}$ を計算しましょう。

解き方

わる数 $\frac{10}{9}$ の逆数 $\frac{9}{10}$ をかけます。

\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \times \frac{9}{10} = \frac{5 \times 9}{6 \times 10}

かける前に約分します。5 と 10 を 5 でわり、9 と 6 を 3 でわると

\frac{5 \times 9}{6 \times 10} = \frac{1 \times 3}{2 \times 2} = \frac{3}{4}

「わられる数までひっくり返してしまう」のがいちばん多いまちがいです。ひっくり返すのは、わる数だけですよ。

分数と小数のまじった計算・文章題

分数と小数がまじった計算は、小数を分数に直すとどんな数でも計算できます。

0.3 = \frac{3}{10}, \quad 0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}, \quad 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

小数第一位までの小数は分母を 10 に、小数第二位までの小数は分母を 100 にして、約分すれば分数になります。

れい題 4(小数×分数)

$0.4 \times \frac{5}{6}$ を計算しましょう。

解き方

$0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ と分数に直してから計算します。

0.4 \times \frac{5}{6} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{2 \times 5}{5 \times 6}

5 どうしを約分し、2 と 6 を 2 でわると

\frac{2 \times 5}{5 \times 6} = \frac{1}{3}

逆に分数を小数に直す方法( $\frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0.8333 \cdots$ )では、わり切れずにこまることがあります。分数に直すほうが、いつでも使えて安心です。

分数の計算は、文章題でも大活やくします。とくに「何倍か」を求める問題と、面積を求める問題を練習しましょう。

「何倍」を求めるときは、整数のときと同じで、くらべる量 ÷ もとにする量の式を立てます。答えが分数になってもかまいません。

れい題 5(何倍)

赤いリボンは $\frac{4}{5}$ m、青いリボンは $\frac{2}{3}$ m あります。赤いリボンの長さは、青いリボンの長さの何倍ですか。

解き方

「青いリボンの何倍」なので、もとにする量は青いリボンです。

\frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

答えは $\frac{6}{5}$ 倍( $1\frac{1}{5}$ 倍)です。

答えが 1 より大きいので、「赤のほうが青より長い」という場面と合っていますね。このように、答えのだいたいの大きさをたしかめるくせをつけましょう。

辺の長さが分数でも公式は使える

長方形の面積 = たて × 横の公式は、辺の長さが分数や小数のときもそのまま使えます。

たて $\frac{3}{4}$ m、横 $\frac{8}{9}$ m の長方形の面積は

\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{2}{3}

で $\frac{2}{3}$ m² です。

§1分数×整数、分数÷整数

§2分数×分数

§3分数÷分数

§4分数と小数のまじった計算・文章題

分数×整数、分数÷整数

分数×分数

分数÷分数

分数と小数のまじった計算・文章題