答えと解説

記録を1つずつ、区間に分けて数えます。「以上」はその数をふくみ、「未満」はふくまないことに注意しましょう。

・8.0秒以上8.5秒未満 … 8.3 の1人
・8.5秒以上9.0秒未満 … 8.5、8.8、8.7 の3人
・9.0秒以上9.5秒未満 … 9.2、9.0、9.4、9.1 の4人
・9.5秒以上10.0秒未満 … 9.6、9.9 の2人

合計は 1 + 3 + 4 + 2 = 10 で、ちゃんと10人になっています。

(1) 9.0秒以上9.5秒未満は 4人です。9.0 はこの区間に入り、9.5 は入らないことに気をつけましょう。

(2) 9.0秒未満は、8.0秒以上8.5秒未満の1人と、8.5秒以上9.0秒未満の3人をあわせて、1 + 3 = 4 で 4人です。9.0秒ちょうどの人は「9.0秒未満」には入りません。ここがいちばんまちがえやすいポイントです。

平均値は、「合計 ÷ 個数」で求めます。

まず5日間の合計を求めます。

これを日数の5でわって

答えは 1日平均 12ページです。

たし算のとちゅうで計算ミスをしやすいので、12 + 15 = 27、27 + 9 = 36、36 + 14 = 50、50 + 10 = 60 のように、じゅんに確かめながらたしましょう。

中央値は、データを小さいじゅんにならべたとき、真ん中にくる値です。

まず小さいじゅんにならべます。

1、2、3、3、4、5、6、7、8

データは9個(奇数・きすう)なので、真ん中は5番めです。前から数えても後ろから数えても5番めになる値、つまり前後に4個ずつある値が真ん中です。

1、2、3、3 の4個のつぎ、5番めは 4 です。よって中央値は 4冊です。

ならべかえる前のじゅん番のまま「真ん中」を選んでしまうのが、いちばん多いまちがいです。かならず小さいじゅんにならべかえてから数えましょう。

最頻値は、いちばん多く出てくる値です。それぞれのサイズが何人いるか、正の字などを使って数えます。

・22cm … 3人
・23cm … 4人
・24cm … 2人
・25cm … 1人

合計は 3 + 4 + 2 + 1 = 10 で、10人ぴったりです。

いちばん人数が多いのは4人いる 23cm なので、最頻値は 23cm です。

最頻値は「いちばん多く出てくる値そのもの(23cm)」であって、「その個数(4人)」ではありません。答えるものをまちがえないようにしましょう。

(1) 百の位を決めてから、じゅんに書き出します。

・百の位が1 … 123、132
・百の位が2 … 213、231
・百の位が3 … 312、321

小さいじゅんに整理して書くと、落ちや重なりを防げます。

(2) 書き出した整数を数えると6個です。計算でも確かめられます。百の位の選び方は3通り、十の位は残りの2枚から2通り、一の位は残りの1枚で1通りなので

答えは 6通りです。書き出した数と計算の結果が合っていることを、いつも確かめるようにしましょう。

「AとBの試合」と「BとAの試合」は同じ1試合なので、これは組み合わせの問題です。重なりが出ないように、じゅんによく書き出します。

・Aの試合 … A対B、A対C、A対D の3試合
・Bの試合(Aとの試合はもう数えた) … B対C、B対D の2試合
・Cの試合(A、Bとの試合はもう数えた) … C対D の1試合

答えは 6試合です。

計算で求めることもできます。じゅん番を考えると $4 \times 3 = 12$ 通りですが、同じ組が2回ずつ数えられているので、$12 \div 2 = 6$ で6試合です。A対BとB対Aを別々に数えて「12試合」と答えてしまうのが、よくあるまちがいです。

まず、データを小さいじゅんにならべておくと、あとの計算がしやすくなります。

3、4、5、5、5、6、7、8、9、10

【平均値】 合計を求めます。3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 62。これを10でわって

平均値は 6.2点です。

【中央値】 データは10個(偶数)なので、真ん中の2つ、5番めと6番めの平均をとります。小さいじゅんで5番めは 5、6番めは 6 なので

中央値は 5.5点です。

【最頻値】 それぞれの値の個数は、3点・4点・6点・7点・8点・9点・10点が1人ずつ、5点が3人です。いちばん多いのは 5点なので、最頻値は 5点です。

このデータのように、平均値・中央値・最頻値は、同じデータでもそれぞれちがう値になることがあります。偶数個のときの中央値は「真ん中の2つの平均」ということを、わすれないようにしましょう。

十の位からじゅんに決めます。ここで注意! 十の位に 0 を使うと「03」のようになり、2けたの整数にはなりません。だから十の位に 0 は使えません。

・十の位の選び方 … 1、2、3 の3通り(0はダメ)
・一の位の選び方 … 残りの3枚から選ぶので3通り(0も使える)

答えは 9通りです。

書き出して確かめると、10、12、13、20、21、23、30、31、32 の9個で、ぴったり合います。

$4 \times 3 = 12$ 通りと答えてしまうのが、いちばん多いまちがいです。0のカードがあるときは、「いちばん上の位に0は使えない」ことをまっ先に考えましょう。

(1) 委員長と副委員長は役わりがちがうので、「委員長A・副委員長B」と「委員長B・副委員長A」はちがう選び方です。つまり、じゅん番を考えるならべ方の問題です。

委員長の選び方は4通り。委員長を決めると、副委員長は残りの3人から選ぶので3通り。

答えは 12通りです。

(2) 代表2人には役わりのちがいがないので、「AとB」と「BとA」は同じ選び方です。つまり組み合わせの問題です。書き出すと、AとB、AとC、AとD、BとC、BとD、CとD の 6通りです。

計算でも求められます。(1)の12通りでは、同じ2人の組が2回ずつ数えられているので

で、やはり6通りです。同じ「2人を選ぶ」でも、役わりがあるかないかで答えが変わる、というのがこの問題のポイントです。

まず、度数分布表に整理します。

・0分以上10分未満 … 5、8、7 の3人
・10分以上20分未満 … 12、15、18、10、14 の5人
・20分以上30分未満 … 20、25 の2人

合計は 3 + 5 + 2 = 10 で、10人ぴったりです。

(1) 10分以上20分未満は 5人です。10分ちょうどの人はこの区間に入り、20分ちょうどの人は入らないことに注意しましょう。

(2) 20分未満の人は、3 + 5 = 8 で8人です。全体10人をもとにした割合(わりあい)は

百分率(ひゃくぶんりつ)になおすと、0.8 は 80% です。

答えは 80%。20分ちょうどの人(20の記録の人)を「20分未満」に入れてしまうと 90% になってしまいます。「未満」はその数をふくまない、をしっかり思い出しましょう。

(1) 百の位からじゅんに決めます。百の位に 0 は使えないので、百の位は 1、2、3 の3通り。十の位は、残った3枚ならどれでもよい(0も使える)ので3通り。一の位は残った2枚から2通りです。

答えは 18通りです。

(2) 偶数は、一の位が 0 か 2 の数です。一の位で場合分けして数えます。

【一の位が0のとき】 百の位は 1、2、3 の3通り、十の位は残った2枚から2通りなので、$3 \times 2 = 6$ で6通り。書き出すと 120、130、210、230、310、320 です。

【一の位が2のとき】 百の位は 0 が使えないので、1 と 3 の2通り。十の位は残った2枚から2通り(ここでは0も使えます)。$2 \times 2 = 4$ で4通り。書き出すと 102、132、302、312 です。

あわせて

答えは 10通りです。

一の位が0のときと2のときで、百の位の選び方の数がちがう(0が使えるかどうかが変わる)ところが、この問題のむずかしいポイントです。まとめて $3 \times 2 \times 2 = 12$ などとせず、ていねいに場合分けしましょう。

(1) 平均値から、10人の合計点がわかります。「平均 × 個数 = 合計」なので

10人の合計は65点です。つぎに、わかっている9人の合計を求めます。

残り1人の点数は、全体の合計から9人の合計をひいて

答えは 8点です。確かめ: 57 + 8 = 65、65 ÷ 10 = 6.5 で、たしかに平均6.5点になります。

(2) 10人全員の点数(8点をふくむ)を小さいじゅんにならべます。

4、5、5、6、6、7、7、8、8、9

データは10個(偶数)なので、中央値は5番めと6番めの平均です。5番めは 6、6番めは 7 なので

答えは 6.5点です。

「平均がわかっているときは、まず合計にもどす」のがコツです。また、(2)では(1)で求めた8点を入れわすれて9個のまま中央値を出さないよう、注意しましょう。