統計的な推測

確率変数 $X$ が値 $x_1, x_2, \dots, x_n$ をそれぞれ確率 $p_1, p_2, \dots, p_n$ でとるとき

期待値(平均) $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$

分散 $V(X) = E\left((X-m)^2\right) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2$ (ただし $m = E(X)$)

標準偏差 $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

分散の計算では「($2$乗の期待値)$-$(期待値の$2$乗)」の形が圧倒的に計算しやすく、実戦ではほぼこちらを使います。

$a$、$b$ を定数とするとき

$E(aX+b) = aE(X) + b$

$V(aX+b) = a^2 V(X)$

$\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$

分散は「散らばり具合」なので、全体を $b$ だけ平行移動しても変わりません。一方、$a$ 倍すると散らばりの幅が $|a|$ 倍になるため、その$2$乗である分散は $a^2$ 倍になります。

2つの確率変数 $X$、$Y$ について、和の期待値はいつでも

さらに $X$ と $Y$ が互いに独立(一方の結果が他方に影響しない)ならば

期待値の式は独立でなくても成り立ちますが、分散の式は独立のときだけ成り立つ点に注意しましょう。

$X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとき($q = 1-p$)

「$n$ 回中、平均して $np$ 回起こる」という直感どおりの結果です。定義から計算すると大変ですが、この公式を使えば一瞬で求められます。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\ \sigma^2)$ に従うとき

とおくと、$Z$ は標準正規分布 $N(0,\ 1)$ に従います。この変形を標準化といいます。

どんな正規分布の問題も、標準化すれば $N(0,\ 1)$ の話に直せるので、正規分布表(標準正規分布での確率 $P(0 \le Z \le z)$ をまとめた表)が1枚あればすべての確率が計算できます。

$X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとき、$n$ が十分大きければ、$X$ は近似的に正規分布

に従うとみなせます。つまり $Z = \dfrac{X - np}{\sqrt{npq}}$ は近似的に $N(0,\ 1)$ に従います。「回数の分布」を正規分布表で計算できるようになる、とても強力な近似です。

母平均 $m$、母標準偏差 $\sigma$ の母集団から大きさ $n$ の無作為標本を抽出するとき

さらに $n$ が十分大きければ、$\overline{X}$ は近似的に正規分布 $N\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ に従います。

標本を増やすほど $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ が小さくなる、つまり標本平均が母平均の近くに集まりやすくなる — これが「たくさん調べるほど正確になる」ことの数学的な表現です。

標本の大きさ $n$ が十分大きいとき、母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間は

$1.96$ は $P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$ からくる数です。母標準偏差 $\sigma$ がわからないときは、$n$ が大きければ標本の標準偏差で代用してかまいません。

母集団の中である性質をもつものの割合(母比率)を $p$、大きさ $n$ の標本での割合(標本比率)を $\hat{p}$ とすると、$n$ が十分大きいとき、$p$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間は

「信頼度 $95\%$」とは、同じ方法で標本抽出と区間の計算を何度もくり返したとき、できた区間のうち約 $95\%$ が本当の値を含む、という意味です。

1. 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を立てる
2. 有意水準 $\alpha$(「めったに起こらない」の基準となる確率。ふつう $5\%$ や $1\%$)を決める
3. $H_0$ のもとでの分布を考え、確率が $\alpha$ 以下になる極端な値の範囲(棄却域)を求める
4. 観察された値が棄却域に入れば $H_0$ を棄却し、$H_1$ が正しいと判断する。入らなければ $H_0$ を棄却しない

有意水準 $5\%$ のとき、標準化した値 $Z$ で表した棄却域は、両側検定なら $|Z| \ge 1.96$、片側検定なら $Z \ge 1.64$(または $Z \le -1.64$)です。