練習問題

確率変数 $X$ の確率分布が次で与えられている。
$P(X=1) = \dfrac{1}{6}$、 $P(X=2) = \dfrac{1}{3}$、 $P(X=3) = \dfrac{1}{2}$
$E(X)$、$V(X)$、$\sigma(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ について $E(X) = 5$、$V(X) = 4$ であるとき、$Y = 3X - 2$ の期待値 $E(Y)$、分散 $V(Y)$、標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

1個のさいころを $180$ 回投げるとき、$1$ の目が出る回数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(50,\ 10^2)$ に従うとき、$P(X \ge 60)$ を求めよ。ただし $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ とする。

母標準偏差 $16$ の母集団から大きさ $64$ の標本を無作為に抽出したところ、標本平均は $120$ であった。母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475$ とする。

確率変数 $X$ は $0$、$1$、$2$ の値をとり、$P(X=0) = a$、$P(X=1) = b$、$P(X=2) = \dfrac{1}{4}$ である。$E(X) = \dfrac{3}{4}$ のとき、$a$、$b$ の値と $V(X)$ を求めよ。

1個のさいころを $4$ 回投げるとき、$3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。
(1) $P(X \ge 1)$ を求めよ。
(2) $E(X)$ と $V(X)$ を求めよ。

ある集団の身長 $X$(cm)は正規分布 $N(170,\ 6^2)$ に従うとする。$P(164 \le X \le 182)$ を求めよ。ただし $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$、$P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$ とする。

1枚の硬貨を $400$ 回投げるとき、表が出る回数を $X$ とする。正規分布による近似を用いて $P(X \ge 210)$ を求めよ。ただし $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ とする。

ある工場で作られる製品の重さの母標準偏差は $10$ g である。製品 $100$ 個を無作為に抽出して重さを量ったところ、平均は $56.3$ g であった。この製品の重さの母平均 $m$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475$ とする。

ある町の有権者から $400$ 人を無作為に選んで調査したところ、$80$ 人がある政策に賛成した。この町の有権者全体のうち政策に賛成する人の割合(母比率)$p$ に対する信頼度 $95\%$ の信頼区間を求めよ。ただし $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475$ とする。

1枚の硬貨を $100$ 回投げたところ、表が $60$ 回出た。この硬貨は表と裏の出やすさに偏りがあると判断してよいか。有意水準 $5\%$ で検定せよ。ただし $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475$ とする。

母標準偏差 $15$ の母集団から大きさ $n$ の標本を無作為に抽出し、母平均を信頼度 $95\%$ で推定する。信頼区間の幅を $6$ 以下にするには、$n$ を少なくともいくらにすればよいか。ただし $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475$ とする。

ある種苗会社は「この種子の発芽率は $90\%$ である」と宣伝している。この種子 $400$ 個をまいたところ、発芽したのは $344$ 個であった。発芽率は $90\%$ より低いと判断してよいか。有意水準 $5\%$ で検定せよ。ただし $P(0 \le Z \le 1.64) = 0.45$ とする。