答えと解説

まず、データを各階級に振り分けます。

10 m以上15 m未満 … 12 の1個 → 1人

15 m以上20 m未満 … 15, 18, 19 の3個 → 3人

20 m以上25 m未満 … 21, 23, 24 の3個 → 3人

25 m以上30 m未満 … 26, 28 の2個 → 2人

30 m以上35 m未満 … 31 の1個 → 1人

度数の合計は $1+3+3+2+1 = 10$ で、データの個数10と一致します。

(1) 上の表から、20 m以上25 m未満の度数は 3人 です。

(2) 25 m以上の階級は「25 m以上30 m未満」と「30 m以上35 m未満」で、$2+1 = 3$ より 3人 です。

振り分けのとき、「以上」はその値をふくみ、「未満」はふくまないことに注意します。たとえば15 mの記録は、10 m以上15 m未満ではなく15 m以上20 m未満に入ります。最後に度数の合計がデータの個数と合うか必ず確かめましょう。

(1) 階級値は階級の真ん中の値なので、両端の平均をとります。

よって 17.5 m です。

(2) 相対度数は「その階級の度数 ÷ 度数の合計」で求めます。

よって 0.30 です。相対度数は割合なので、必ず0以上1以下の数になります。1をこえたら、度数と合計を逆にわっていないか確かめましょう。

平均値は、合計をデータの個数6でわります。

よって平均値は 6時間。

中央値は、データを小さい順に並べたときの真ん中の値です。データは6個(偶数)なので、真ん中の2つ、つまり3番目の5と4番目の7の平均をとります。

よって中央値は 6時間。

最頻値は、もっとも多く出てくる値です。7が2回出てきて最多なので、最頻値は 7時間 です。

データの個数が偶数のとき、中央値は「真ん中の2つの平均」になることを忘れないようにしましょう。合計の検算は、$(2+4)+(5+7)+(7+11) = 6+12+18 = 36$ のように組を変えてたし直すと確実です。

範囲は「最大値 − 最小値」で求めます。最大値は27、最小値は13なので

よって範囲は 14 kg です。

中央値は、データを小さい順に並べたときの真ん中の値です。データは5個(奇数)なので、真ん中は3番目の値で、中央値は 18 kg です。

範囲は「データがどのくらい散らばっているか」を表す値で、代表値(平均値・中央値・最頻値)とは役割がちがうことをおさえておきましょう。

相対度数は、そのことがらが起こった回数を実験の回数でわって求めます。

よって相対度数は 0.64 です。

検算として、$50 \times 0.64 = 32$ となり、もとの回数に戻ることが確かめられます。画びょうのように形が対称でないものは、「上向き」と「そうでない」の起こりやすさが半々になるとは限りません。だからこそ、実験の相対度数で起こりやすさを調べる意味があります。

(1) 度数の合計は10人なので、アは合計から分かっている度数をひいて求めます。

よって ア = 3 です。検算すると $1+3+4+2 = 10$ で合計と一致します。

(2) 相対度数は「度数 ÷ 合計」なので

(3) 累積度数は、最初の階級からその階級までの度数の和です。30分未満なので、0分以上10分未満、10分以上20分未満、20分以上30分未満の3つの階級の度数をたして

よって 8人 です。「30分未満」には30分以上40分未満の階級は入らないことに注意しましょう。

データは10個(偶数)なので、中央値は小さい方から5番目と6番目の値の平均です。したがって、5番目と6番目の値がどの階級にあるかを、累積度数で調べます。

10分未満まで … $2$ 人(1〜2番目)

15分未満まで … $2+2 = 4$ 人(3〜4番目)

20分未満まで … $4+3 = 7$ 人(5〜7番目)

5番目と6番目はどちらも15分以上20分未満の階級に入っているので、その平均である中央値もこの階級の中にあります。

よって、中央値が入っているのは 15分以上20分未満の階級 です。

度数分布表からは一人ひとりの正確な値は分からないので、「中央値そのもの」ではなく「中央値をふくむ階級」を答える、という問題の形に慣れておきましょう。

(1) 度数分布表での最頻値は、度数がもっとも大きい階級の階級値です。度数が最大なのは4人の「10分以上20分未満」の階級で、その階級値は

よって最頻値は 15分 です。

(2) 度数分布表から平均値を求めるときは、各階級の値をその階級値で代表させて、「(階級値 × 度数)の合計 ÷ 度数の合計」を計算します。各階級の階級値は順に 5, 15, 25, 35 なので

合計は $10+60+75+35 = 180$。度数の合計は10人なので

よって平均値は 18分 です。

もとの一人ひとりの値が分からないので、これはあくまで「およその平均値」です。階級値のかけ算を1つずつ書き出してからたすと、計算ミスを防げます。

(1) 平均値は合計をデータの個数7でわります。

よって平均値は 7冊。

中央値は、7個のデータの真ん中、つまり小さい方から4番目の値なので 4冊 です。

(2) 7人のうち6人は6冊以下しか借りていないのに、平均値は7冊で、6人全員の値より大きくなっています。これは、26冊という極端に大きい値が合計を押し上げているためです。一方、中央値は「順番の真ん中」で決まるので、いちばん大きい値が26冊でも100冊でも変わりません。

よって、全体の実感に近い代表値は 中央値 です。

極端な値(外れた値)をふくむデータでは「平均値は引っぱられる、中央値は動きにくい」という性質は、代表値を選ぶ問題でくり返し問われる重要ポイントです。

人数(度数の合計)がちがうグループを比べるときは、度数のままでは比べられないので、相対度数(割合)に直します。

A組の相対度数は

B組の相対度数は

$0.30 > 0.25$ なので、通学時間が20分以上の生徒の割合が大きいのは A組 です。

人数だけを見ると「3人と2人でA組が多い」となりますが、それは合計の人数がちがうので正しい比べ方ではありません。「合計がちがうデータの比較は相対度数」が鉄則です。検算は、$10 \times 0.30 = 3$、$8 \times 0.25 = 2$ と、もとの人数に戻るかで確かめられます。

(1) 平均値が8点になるための5回分の合計は

いまの4回の合計は

なので、5回目に必要な得点は

よって 10点 です。10点満点のテストなので、10点はとることが可能な得点です。

(2) 5回の得点は 6, 7, 8, 9, 10 となります。小さい順に並んでいて、5個(奇数)の真ん中は3番目なので、中央値は 8点 です。

「平均値 × 個数 = 合計」の形に直してから考えるのが、平均の逆算問題の定石です。検算すると $(6+7+8+9+10) \div 5 = 40 \div 5 = 8$ で、確かに平均8点になっています。

(1) 度数の合計が10人なので

よって ア = 3 です。検算: $1+2+3+3+1 = 10$ ✓

(2) まず各階級の相対度数を求めると、度数の合計が10なので、順に

18 m以上22 m未満の階級までの累積相対度数は、最初からその階級までの相対度数の和で

よって 0.60 です。累積度数 $1+2+3 = 6$ を合計10でわって $6 \div 10 = 0.60$ と求めても同じ結果になります。

(3) データは10個なので、中央値は5番目と6番目の値の平均です。累積度数を調べると

14 m未満まで … 1人(1番目)

18 m未満まで … $1+2 = 3$ 人(2〜3番目)

22 m未満まで … $3+3 = 6$ 人(4〜6番目)

5番目と6番目はどちらも18 m以上22 m未満の階級にあるので、中央値が入っているのは 18 m以上22 m未満の階級 です。

累積度数・累積相対度数・中央値の階級は、どれも「最初からの積み重ね」を数える点で共通しています。表の横に累積度数の列を書きたしてしまうのが、ミスを防ぐいちばんの近道です。

(1) 相対度数は「起こった回数 ÷ 実験の回数」なので

(2) 100回のときの相対度数は $44 \div 100 = 0.44$ で、1000回のときの0.41とは少しちがいます。実験の回数が少ないうちは、偶然のかたよりの影響が大きく、相対度数はばらつきます。回数を多くするほど相対度数は一定の値に近づいていくので、確率とみなすのに適切なのは 1000回のときの相対度数0.41 です。

(3) 上向きになる確率を0.41とみなすと、3000回投げたときに期待される回数は

よって、およそ1230回 と考えられます。

検算として、$1230 \div 3000 = 0.41$ で相対度数に戻ることが確かめられます。答えはあくまで「およその回数」であり、実際にぴったり1230回になるとは限らない、という言葉づかいにも気をつけましょう。

各階級の階級値は順に 10, 30, 50, 70(分)です。

アにあてはまる数を $x$ とします。まず、度数の合計が10人であることから、イにあてはまる数は

と表せます。

次に、平均値が38分であることを式にします。度数分布表からの平均値は「(階級値 × 度数 の合計)÷(度数の合計)」なので、階級値 × 度数 の合計は

になるはずです。したがって

左辺を順に計算して整理します。

よって ア = 1、イは $6 - 1 = 5$ より イ = 5 です。

検算します。度数は 1, 5, 3, 1 で合計 $1+5+3+1 = 10$ ✓。平均値は

となり、確かに38分になります。「合計の条件」と「平均値の条件」の2つの式を立て、一方をもう一方に代入して1つの文字の方程式にする、という流れがこの問題のポイントです。