図形の角
三角形には角が3つあります。この3つの角の大きさを全部たすと、どんな三角形でも、いつも同じ大きさになります。
紙で三角形を作って、3つの角の部分をちぎって、1か所にすき間なくならべてみましょう。3つの角がぴったりくっついて、まっすぐな線(一直線)になります。一直線の角の大きさは180°(180度)なので、三角形の3つの角の和はいつも180°だと分かります。
四角形の角はどうでしょうか。四角形に対角線(向かい合ったちょう点を結ぶ直線)を1本ひくと、四角形は2つの三角形に分かれます。三角形1つ分の角の和は180°なので、四角形の4つの角の和は 180° × 2 = 360° になります。
五角形なら、1つのちょう点から対角線をひくと三角形3つに分けられるので、角の和は 180° × 3 = 540°。六角形なら三角形4つ分で 180° × 4 = 720° です。「三角形がいくつ分か」を考えれば、どんな多角形でも角の和が求められます。
平行四辺形と三角形の面積
4年生では、長方形の面積を「たて × 横」で求めることをまなびました。5年生では、平行四辺形や三角形など、いろいろな形の面積を求めます。
新しい公式をただ覚えるのではなく、「形を変えて、面積の求め方を知っている形(長方形)にする」という考え方がとても大事です。
まず平行四辺形です。平行四辺形のはしを、高さにそってまっすぐに切り取ると、直角三角形が1つできます。この直角三角形を反対がわに移すと、平行四辺形はぴったり長方形に変わります。切って移しただけなので、面積は変わりません。
できた長方形のたては平行四辺形の「高さ」、横は「底辺(そこの辺)」と同じ長さです。だから、平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」で求められます。
次に三角形です。同じ三角形をもう1つ用意して、180°回してくっつけると、ぴったり平行四辺形ができます。つまり、三角形の面積は平行四辺形の面積の半分です。
だから、三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求められます。「÷ 2」は「同じ三角形2つで平行四辺形を作ったから、半分にもどす」という意味です。
台形とひし形の面積
台形(平行な辺が1組ある四角形)の面積も、「形を変える」考え方で求められます。平行な2つの辺のうち、上の辺を「上底(じょうてい)」、下の辺を「下底(かてい)」といいます。
同じ台形をもう1つ用意して、180°回してとなりにくっつけると、大きな平行四辺形ができます。この平行四辺形の底辺は「上底 + 下底」、高さは台形の高さと同じです。台形はその半分なので、面積は「(上底 + 下底) × 高さ ÷ 2」になります。
ひし形(4つの辺の長さがみんな等しい四角形)は、2本の対角線が直角に交わります。ひし形のまわりに、対角線と同じたて・横の長さの長方形をかいてみましょう。ひし形の面積は、ちょうどこの長方形の半分になっています(長方形の中の、ひし形の外がわの部分を折り返すと、ひし形にぴったり重なります)。
だから、ひし形の面積は「対角線 × 対角線 ÷ 2」で求められます。
直方体と立方体の体積
もののかさ(大きさ)のことを「体積」といいます。体積は、1辺が1cmの立方体(サイコロの形)が「いくつ分あるか」で表します。この立方体1つ分の体積を 1cm³(1立方センチメートル)といいます。
直方体(ティッシュの箱のような形)の体積を考えましょう。たて4cm、横5cm、高さ3cmの直方体には、1cm³ の立方体が、1だんめに たて4こ × 横5こ = 20こ ならびます。それが高さの方向に3だん重なるので、全部で 20 × 3 = 60こ。つまり体積は 60cm³ です。
プールや部屋のような大きなものの体積には、1辺が1mの立方体をもとにした m³(立方メートル)という単位を使います。
1mは100cmなので、1辺が1mの立方体には、1cm³ の立方体が たて100 × 横100 × 高さ100 ならびます。
つまり、(100万cm³)です。
かいだんの形のような複雑な形の体積は、公式がそのままでは使えません。そんなときは、
・いくつかの直方体に分けて、それぞれの体積をたす
・大きな直方体から、へこんだ部分の体積をひく
という2つのくふうができます。どちらで計算しても、答えは同じになります。面積のときと同じで、「知っている形にして考える」のがコツです。