答えと解説: 図形の角・面積・体積 | 小5算数

問 1基本

(1) 三角形の2つの角の大きさが50°と60°のとき、のこりの1つの角の大きさは何度ですか。
(2) 四角形の3つの角の大きさが80°、95°、100°のとき、のこりの1つの角の大きさは何度ですか。

答え

(1) 70°
(2) 85°

解説

(1) 三角形の3つの角の和は、どんな三角形でも180°です。分かっている2つの角の和は

50 + 60 = 110

なので、のこりの角は

180 - 110 = 70

答えは 70° です。

(2) 四角形の4つの角の和は360°です(対角線で三角形2つに分けられるから、180° × 2 = 360°)。分かっている3つの角の和は

80 + 95 + 100 = 275

なので、のこりの角は

360 - 275 = 85

答えは 85° です。三角形は180°、四角形は360°。どちらの形の話なのかをまちがえないようにしましょう。

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問 2基本

(1) 底辺6cm、高さ4cmの平行四辺形の面積を求めましょう。
(2) 底辺8cm、高さ5cmの三角形の面積を求めましょう。

答え

(1) $24 \, \mathrm{cm^2}$
(2) $20 \, \mathrm{cm^2}$

解説

(1) 平行四辺形は、はしを切って移すと長方形に変えられるので、面積は底辺 × 高さで求められます。

6 \times 4 = 24

答えは $24 \, \mathrm{cm^2}$ です。

(2) 三角形は、同じものを2つ合わせると平行四辺形になるので、面積は底辺 × 高さ ÷ 2 です。

8 \times 5 \div 2 = 40 \div 2 = 20

答えは $20 \, \mathrm{cm^2}$ です。三角形の「÷ 2」のわすれと、単位のcm²の書きわすれに気をつけましょう。

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問 3基本

(1) 上底3cm、下底7cm、高さ4cmの台形の面積を求めましょう。
(2) 対角線の長さが6cmと8cmのひし形の面積を求めましょう。

答え

(1) $20 \, \mathrm{cm^2}$
(2) $24 \, \mathrm{cm^2}$

解説

(1) 台形の面積 = (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 です。同じ台形を2つ合わせると平行四辺形になるから、最後に2でわります。

(3 + 7) \times 4 \div 2 = 10 \times 4 \div 2 = 40 \div 2 = 20

答えは $20 \, \mathrm{cm^2}$ です。

(2) ひし形の面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2 です。ひし形は、対角線をたて・横とする長方形のちょうど半分だからです。

6 \times 8 \div 2 = 48 \div 2 = 24

答えは $24 \, \mathrm{cm^2}$ です。台形では、先に (上底 + 下底) のたし算をしてからかけ算をします。順番に気をつけましょう。

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問 4基本

(1) たて4cm、横5cm、高さ3cmの直方体の体積を求めましょう。
(2) 1辺が6cmの立方体の体積を求めましょう。

答え

(1) $60 \, \mathrm{cm^3}$
(2) $216 \, \mathrm{cm^3}$

解説

(1) 直方体の体積 = たて × 横 × 高さです。1cm³ の立方体が、1だんに 4 × 5 = 20こ、それが3だん分あると考えます。

4 \times 5 \times 3 = 20 \times 3 = 60

答えは $60 \, \mathrm{cm^3}$ です。

(2) 立方体は、たて・横・高さがみんな同じ長さなので

6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216

答えは $216 \, \mathrm{cm^3}$ です。面積の単位は cm²、体積の単位は cm³ です。書きまちがえないようにしましょう。

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問 5基本

2つの辺の長さが等しい二等辺三角形があります。2つの等しい角にはさまれていない角(ちょう点の角)の大きさが40°のとき、のこりの2つの角の大きさは、それぞれ何度ですか。

答え

それぞれ 70°

解説

二等辺三角形では、2つの角の大きさが等しくなっています。三角形の3つの角の和は180°なので、のこりの2つの角の和は

180 - 40 = 140

この140°を、等しい2つの角で分けるので

140 \div 2 = 70

答えは、それぞれ 70° です。検算すると、 $40 + 70 + 70 = 180$ で、ちゃんと180°になっています。「2つの角が等しい」という二等辺三角形の性質を使うのがポイントです。

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問 6基本

(1) たて2m、横3m、高さ1.5mの直方体の体積は何m³ですか。
(2) 1m³は何cm³ですか。

答え

(1) $9 \, \mathrm{m^3}$
(2) $1000000 \, \mathrm{cm^3}$ (100万cm³)

解説

(1) 長さの単位がmでも、体積の公式は同じです。

2 \times 3 \times 1.5 = 6 \times 1.5 = 9

答えは $9 \, \mathrm{m^3}$ です。単位がmのときの答えは m³ になります。

(2) 1mは100cmです。1辺が1mの立方体は、1辺が100cmの立方体と同じことなので

100 \times 100 \times 100 = 1000000

答えは $1000000 \, \mathrm{cm^3}$ です。「1m = 100cm だから 1m³ = 100cm³」としてしまうのがよくあるまちがいです。たて・横・高さの3つの方向がそれぞれ100倍になるので、体積は 100 × 100 × 100 = 100万倍になります。

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問 7標準

(1) 五角形の5つの角の大きさの和は何度ですか。
(2) 5つの角の大きさがみんな等しい正五角形の、1つの角の大きさは何度ですか。

答え

(1) 540°
(2) 108°

解説

(1) 五角形は、1つのちょう点から対角線を2本ひくと、3つの三角形に分けられます。三角形1つ分の角の和は180°なので

180 \times 3 = 540

答えは 540° です。

(2) 正五角形は5つの角がみんな等しいので、540°を5等分します。

540 \div 5 = 108

答えは 108° です。検算すると、 $108 \times 5 = 540$ で合っています。「三角形いくつ分に分けられるか」は「ちょう点の数 − 2」で求められることも覚えておくと便利です。

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問 8標準

(1) 面積が $36 \, \mathrm{cm^2}$ で、底辺が9cmの平行四辺形の高さは何cmですか。
(2) 面積が $30 \, \mathrm{cm^2}$ で、底辺が12cmの三角形の高さは何cmですか。

答え

(1) 4cm
(2) 5cm

解説

(1) 平行四辺形の面積 = 底辺 × 高さです。面積と底辺が分かっているので、高さを □ cmとすると

9 \times \square = 36

□ を求めるには、面積を底辺でわります。

36 \div 9 = 4

答えは 4cm です。検算: $9 \times 4 = 36$ で合っています。

(2) 三角形の面積 = 底辺 × 高さ ÷ 2 です。高さを □ cmとすると

12 \times \square \div 2 = 30

まず、÷ 2 をする前の「底辺 × 高さ」は、面積の2倍です。

30 \times 2 = 60

これを底辺の12でわると

60 \div 12 = 5

答えは 5cm です。検算: $12 \times 5 \div 2 = 60 \div 2 = 30$ で合っています。三角形では「先に面積を2倍する」のをわすれやすいので注意しましょう。

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問 9標準

台形の形をした花だんがあります。上底は4m、下底は10m、高さは6mです。
(1) この花だんの面積は何m²ですか。
(2) この花だんに、1m²あたり3本のチューリップを植えます。チューリップは全部で何本いりますか。

答え

(1) $42 \, \mathrm{m^2}$
(2) 126本

解説

(1) 台形の面積 = (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 です。

(4 + 10) \times 6 \div 2 = 14 \times 6 \div 2 = 84 \div 2 = 42

答えは $42 \, \mathrm{m^2}$ です。

(2) 1m²あたり3本なので、面積の分だけ3本ずつあると考えます。

42 \times 3 = 126

答えは 126本です。文章題では、(1)で求めた面積を(2)で使う、というつながりを意識しましょう。また、長さの単位がmなので、面積の単位はcm²ではなくm²になります。

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問 10標準

たて10cm、横10cm、高さ4cmの直方体の上に、たて10cm、横4cm、高さ3cmの直方体をのせた、かいだんのような形の立体があります。この立体の体積を求めましょう。

答え

$520 \, \mathrm{cm^3}$

解説

複雑な形は、直方体に分けて考えます。

【下の直方体】

10 \times 10 \times 4 = 400

【上の直方体】

10 \times 4 \times 3 = 120

2つをたして

400 + 120 = 520

答えは $520 \, \mathrm{cm^3}$ です。

別の方法として、「大きな直方体からひく」こともできます。全体を、たて10cm、横10cm、高さ $4 + 3 = 7$ cmの大きな直方体と考えると $10 \times 10 \times 7 = 700$ 。へこんでいる部分は、たて10cm、横 $10 - 4 = 6$ cm、高さ3cmの直方体なので $10 \times 6 \times 3 = 180$ 。

700 - 180 = 520

どちらの方法でも $520 \, \mathrm{cm^3}$ になり、答えが確かめられます。2つの方法で計算して答えが合うか確かめるのは、とてもよい検算のしかたです。

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問 11発展

(1) 角の大きさの和が1080°になる多角形は、何角形ですか。
(2) その多角形の角がみんな等しい大きさだとすると、1つの角の大きさは何度ですか。

答え

(1) 八角形
(2) 135°

解説

(1) 多角形は、1つのちょう点からひいた対角線で「ちょう点の数 − 2」この三角形に分けられます。角の和が1080°ということは、三角形が何こ分かを考えると

1080 \div 180 = 6

三角形6つ分です。三角形の数は「ちょう点の数 − 2」なので、ちょう点の数は

6 + 2 = 8

答えは八角形です。検算すると、八角形は三角形 $8 - 2 = 6$ こ分に分けられて、 $180 \times 6 = 1080$ で合っています。

(2) 8つの角がみんな等しいので、1080°を8等分します。

1080 \div 8 = 135

答えは 135° です。検算: $135 \times 8 = 1080$ で合っています。「和 ÷ 180 = 三角形の数」「三角形の数 + 2 = ちょう点の数」と、順番に逆算していくのがポイントです。

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問 12発展

内側の大きさが、たて40cm、横50cm、深さ30cmの直方体の形をした水そうに、深さ20cmまで水が入っています。この水そうに石を1つしずめたところ、石は全部水の中に入り、水の深さが22cmになりました。この石の体積は何cm³ですか。

答え

$4000 \, \mathrm{cm^3}$

解説

石をしずめると、石の分だけ水が上におし上げられて、水面が高くなります。だから、「増えた水のかさの分」がそのまま石の体積になります。

水の深さは、20cmから22cmになったので

22 - 20 = 2

2cm増えました。増えた部分は、たて40cm、横50cm、高さ2cmの直方体の形をしています。その体積は

40 \times 50 \times 2 = 2000 \times 2 = 4000

答えは $4000 \, \mathrm{cm^3}$ です。

検算として、石を入れる前と後の水の体積を比べてみましょう。前は $40 \times 50 \times 20 = 40000$ cm³、後は水と石を合わせて $40 \times 50 \times 22 = 44000$ cm³。差は $44000 - 40000 = 4000$ cm³ で、たしかに合っています。水全体の体積を計算しなくても、「増えた深さの分だけ」を考えればよいところがこの問題のコツです。

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