円の面積と立体の体積

円の面積の公式と、角柱・円柱の体積の求め方をまなびます。

円の面積

これまでに、長方形や三角形などの面積の求め方を学んできました。この章では、まるい形、つまり円の面積を求める方法を考えます。

円の面積は、次のたった 1 つの式で求められます。半径(はんけい)とは、円の中心からまわりまでの長さのことでしたね。

円の面積の公式

円の面積 = 半径 × 半径 × 3.14

3.14 は円周率(えんしゅうりつ)です。半径を 2 回かけることに注意しましょう。

なぜこの式で面積が求められるのでしょうか。ピザを切り分けるように、円を細かいおうぎ形にどんどん切って、たがいちがいにならべかえてみましょう。切り方を細かくすればするほど、ならべかえた形は長方形に近づいていきます。

この長方形の「たて」は円の半径と同じ長さです。「よこ」は円のまわりの長さ(円周)のちょうど半分なので、直径 × 3.14 ÷ 2、つまり半径 × 3.14 になります。

長方形の面積はたて × よこですから、たてに「半径」、よこに「半径 × 3.14」をあてはめると、円の面積は半径 × 半径 × 3.14 になるのです。公式をただ覚えるのではなく、「円を切ってならべると長方形になる」というイメージもいっしょに覚えておきましょう。

れい題 1

半径 10cm の円の面積を求めましょう。

解き方

公式にあてはめます。半径は 10cm なので、

10 \times 10 \times 3.14 = 100 \times 3.14 = 314

答えは 314 cm² です。

面積の単位は cm²(平方センチメートル)です。長さの単位 cm とまちがえないようにしましょう。

問題文に「直径」が書いてあるときは注意が必要です。公式で使うのは半径なので、まず直径 ÷ 2 で半径を求めてから計算します。たとえば直径 8cm の円なら、半径は $8 \div 2 = 4$ で 4cm です。「半径か直径か」を最初にたしかめるくせをつけましょう。

いろいろな形の面積

円の面積が求められるようになると、円を切ったり組み合わせたりした形の面積も求められます。

まず、円を半分に切った形を半円といいます。半円の面積は、円の面積のちょうど半分なので、円の面積を求めてから 2 でわります。

同じように、円を 4 等分した形(4 分の 1 の円)は、おうぎ形とよばれる形のなかまです。その面積は、円の面積を 4 でわれば求められます。

円の一部の面積

半円の面積 = 半径 × 半径 × 3.14 ÷ 2

円の 4 分の 1 の面積 = 半径 × 半径 × 3.14 ÷ 4

「円のどれだけ分か」を考えて、円の面積をわればよいのです。

れい題 2

半径 6cm の半円の面積を求めましょう。

解き方

まず、半径 6cm の円全体の面積を求めます。

6 \times 6 \times 3.14 = 36 \times 3.14 = 113.04

半円はこの半分なので、

113.04 \div 2 = 56.52

答えは 56.52 cm² です。

先に $36 \div 2 = 18$ としてから $18 \times 3.14 = 56.52$ と計算しても、同じ答えになります。

次に、円と正方形などを組み合わせた形を考えます。組み合わせた形の面積は、

1. いくつかの形に分けて「たす」
2. 大きい形から、いらない部分を「ひく」

のどちらかで求めるのが基本です。図をよく見て、どの形とどの形の組み合わせなのかを見ぬくことが大切です。

れい題 3

1 辺が 20cm の正方形の紙から、半径 10cm の円をちょうど 1 つ切りぬきました。残った紙の面積を求めましょう。

解き方

「大きい形から、いらない部分をひく」考え方を使います。

正方形の面積は

20 \times 20 = 400

で 400 cm² です。切りぬいた円の面積は

10 \times 10 \times 3.14 = 314

で 314 cm² です。残った紙の面積は、正方形から円をひいて

400 - 314 = 86

答えは 86 cm² です。

角柱と円柱の体積

5 年生では、直方体の体積をたて × よこ × 高さで求めることを学びました。この式は、見方を変えると

(\text{たて} \times \text{よこ}) \times \text{高さ}

つまり「底面(ていめん)の面積 × 高さ」と考えることができます。底面とは、柱の形の底になっている面のことで、その面積を底面積(ていめんせき)といいます。

じつはこの考え方は、直方体だけでなく、三角柱や円柱など、どんな角柱(かくちゅう)・円柱(えんちゅう)にも使えます。底面の形を 1 だんめとして、それを高さの分だけ積み上げたものが柱の体積になる、とイメージしましょう。

角柱・円柱の体積の公式

角柱・円柱の体積 = 底面積 × 高さ

底面が三角形なら、底面積は底辺 × 高さ ÷ 2 で求めます。
底面が円なら、底面積は半径 × 半径 × 3.14 で求めます。

れい題 4

底面が、底辺 5cm、高さ 6cm の三角形で、高さが 4cm の三角柱があります。この三角柱の体積を求めましょう。

解き方

まず底面積を求めます。底面は三角形なので、

5 \times 6 \div 2 = 30 \div 2 = 15

で、底面積は 15 cm² です。次に、体積 = 底面積 × 高さにあてはめて、

15 \times 4 = 60

答えは 60 cm³ です。

三角形の高さ 6cm と、三角柱の高さ 4cm は別のものです。図の中のどの長さがどの「高さ」なのか、しっかり区別しましょう。

れい題 5

底面の半径が 2cm で、高さが 5cm の円柱の体積を求めましょう。

解き方

まず底面積を求めます。底面は半径 2cm の円なので、

2 \times 2 \times 3.14 = 4 \times 3.14 = 12.56

で、底面積は 12.56 cm² です。次に、体積 = 底面積 × 高さにあてはめて、

12.56 \times 5 = 62.8

答えは 62.8 cm³ です。

体積の単位は cm³(立方センチメートル)です。面積の cm² と書きまちがえないように気をつけましょう。

およその面積と体積

身のまわりにあるものは、正方形や円のようなきちんとした形をしていないことがほとんどです。たとえば、池や葉っぱ、手のひらの形はでこぼこしています。

そんなときは、その形を「だいたいこの図形と同じだ」とみなして(=見立てて)、公式で計算します。こうして求めた面積や体積を、およその面積・およその体積といいます。ぴったり正確ではありませんが、およその大きさが分かればじゅうぶん役に立つ場面は、生活の中にたくさんあります。

およその面積・体積の求め方

1. 実際の形を、知っている図形(円・長方形・台形・円柱など)とみなす

2. 必要な長さをはかる(またはおよその長さを決める)

3. その図形の公式にあてはめて計算する

答えには「約」をつけて、「約 300 m²」のように表します。

れい題 6

上底が約 40m、下底が約 60m、高さが約 50m の台形とみなせる畑があります。この畑のおよその面積を求めましょう。

解き方

台形の面積の公式 (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 にあてはめます。

(40 + 60) \times 50 \div 2 = 100 \times 50 \div 2 = 5000 \div 2 = 2500

答えは約 2500 m² です。

およその面積なので、答えに「約」をつけるのをわすれないようにしましょう。

れい題 7

水とうを、底面の半径が 4cm、高さが 20cm の円柱とみなします。この水とうにはおよそ何 cm³ の水が入りますか。

解き方

円柱の体積の公式底面積 × 高さにあてはめます。まず底面積は

4 \times 4 \times 3.14 = 16 \times 3.14 = 50.24

で 50.24 cm² です。体積は

50.24 \times 20 = 1004.8

答えは約 1004.8 cm³ です。

1 cm³ = 1 mL なので、この水とうにはおよそ 1000 mL、つまり約 1L の水が入ることが分かります。

§1円の面積

§2いろいろな形の面積

§3角柱と円柱の体積

§4およその面積と体積

円の面積

いろいろな形の面積

角柱と円柱の体積

およその面積と体積