比例と反比例

1本60円のえんぴつを買うことを考えます。買う本数が1本、2本、3本…とふえると、代金も60円、120円、180円…とふえていきますね。このように、一方の量が変わると、もう一方の量もいっしょに変わるとき、この2つを「ともなって変わる2つの量」といいます。

ともなって変わる2つの量の中でも、とくに大切なのが「比例(ひれい)」という関係です。買う本数を $x$(エックス)本、代金を $y$(ワイ)円とすると、$x$ が2倍、3倍…になると、$y$ も2倍、3倍…になります。このような関係を、「$y$ は $x$ に比例する」といいます。

「きまった数」は、$x$ が $1$ のときの $y$ の値と同じです。えんぴつの例では、1本のときの代金60円がきまった数なので、式は

となります。この式が1つ分かれば、何本買っても代金がすぐに計算できるのが、比例のべんりなところです。

比例の関係をグラフに表してみましょう。横のじくに $x$、たてのじくに $y$ をとって、表の $x$ と $y$ の組を点でうっていきます。すると、点はまっすぐにならびます。

グラフから式を作ることもできます。グラフが通っている点を1つ読みとり、$y \div x$ を計算すれば、きまった数が分かります。たとえばグラフが「$x$ が $2$ のとき $y$ が $10$」の点を通っていれば、きまった数は $10 \div 2 = 5$ なので、式は $y = 5 \times x$ です。

表から比例かどうかを見分けるときも、考え方は同じです。表のどの列でも $y \div x$ が同じ数になっていれば、比例しています。

今度は、面積が $12$ cm² と決まっている長方形を考えます。たての長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cmとすると、

$x$(cm): 1、2、3、4、6
$y$(cm): 12、6、4、3、2

のようになります。$x$ が2倍、3倍…になると、$y$ は $\frac{1}{2}$(2分の1)、$\frac{1}{3}$(3分の1)…になっていますね。このような関係を、「$y$ は $x$ に反比例(はんぴれい)する」といいます。

長方形の例では、たて×横=面積なので、$x \times y$ はいつも $12$ です。だから式は $y = 12 \div x$ となります。

反比例のグラフは、比例とちがって直線にはなりません。点をたくさんうってなめらかに結ぶと、曲がった線(曲線)になります。また、0の点は通りません。$x$ が大きくなるほど $y$ は小さくなりますが、$0$ にはならないからです。

比例の考えを使うと、全部を数えたりはかったりしなくても、およその量やちょうどの量を求めることができます。

たとえば、くぎがたくさん入った箱があるとします。1本ずつ数えるのは大変ですが、くぎの本数と重さは比例するので、「少しの本数の重さ」をはかれば、全体の重さから本数を計算で求められます。

反比例は、「全体の量が決まっているとき」によく出てきます。たとえば、決まった道のりを進むときの「速さと時間」、決まった量の水を入れるときの「1分に入れる量とかかる時間」などです。

どちらの量をかけ合わせると全体の量(きまった数)になるかに注目すると、式が作りやすくなります。