文字と式・比

xやyを使った式の表し方と、比の意味・等しい比・比の利用をまなびます。

文字と式

これまで、わからない数を □ や △ で表してきましたね。6年生では、□ や △ のかわりに、 $x$ (エックス)や $y$ (ワイ)という文字を使います。

たとえば、1本 60 円のえんぴつを $x$ 本買うときの代金は、

60 \times x

という式で表せます。 $x$ に 1、2、3、… とどんな数をあてはめても、この1つの式で代金がわかります。文字を使うと、いろいろな場合をまとめて1つの式に書けるのです。

文字を使った式

わからない数や、いろいろに変わる数は、 $x$ や $y$ などの文字で表せます。

1本 60 円のえんぴつ $x$ 本の代金を $y$ 円とすると

60 \times x = y

$x$ の値(あたい)が決まると、 $y$ の値も決まります。

れい題 1(xにあてはまる数)

1本 60 円のえんぴつを $x$ 本買ったら、代金は 300 円でした。 $x$ にあてはまる数を求めましょう。

解き方

式に表すと

60 \times x = 300

「60 に $x$ をかけると 300」だから、 $x$ はかけ算の反対のわり算で求められます。

x = 300 \div 60 = 5

答えは 5(本)です。たしかめに $60 \times 5 = 300$ で、ぴったり合います。

$x$ にあてはまる数は、計算の反対(逆算)で求めます。たし算の反対はひき算、かけ算の反対はわり算です。

たとえば $x + 35 = 80$ なら、 $x = 80 - 35 = 45$ です。たしかめに $45 + 35 = 80$ となり、合っていることが確認できます。答えを出したら、もとの式にあてはめてたしかめる習慣をつけましょう。

比の意味と表し方

ドレッシングを作るとき、「酢(す)を 2 はい、サラダ油を 3 ばい」のように、2つの量の割合(わりあい)を組にして表すことがあります。

このような割合を「 $2:3$ 」と書き、「2 対(たい)3」と読みます。これを比(ひ)といいます。

比と比の値

2つの量 $a$ と $b$ の割合を $a:b$ と表します。

前の数を後ろの数でわった商(あまりを出さずに分数で表したもの)を、比の値(ひのあたい)といいます。 $a:b$ の比の値は

a \div b = \frac{a}{b}

です。

れい題 2(比の値)

$6:8$ の比の値を求めましょう。

解き方

比の値は、前の数を後ろの数でわって求めます。

6 \div 8 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

答えは $\dfrac{3}{4}$ です。約分できるときは、いちばん簡単な分数まで約分します。

比の値が等しいとき、2つの比は「等しい」といいます。たとえば $6:8$ の比の値は $\dfrac{3}{4}$ 、 $3:4$ の比の値も $\dfrac{3}{4}$ なので、

6:8 = 3:4

と書けます。見た目の数字がちがっても、割合が同じなら同じ比なのです。

等しい比と比を簡単にする方法

等しい比のせいしつ

比の両方の数に同じ数をかけても、両方の数を同じ数でわっても、比は等しいままです。

2:3 = (2 \times 4):(3 \times 4) = 8:12

8:12 = (8 \div 4):(12 \div 4) = 2:3

このせいしつを使って、比をできるだけ小さい整数の組に直すことを「比を簡単にする」といいます。

れい題 3(比を簡単にする)

$24:36$ を簡単にしましょう。

解き方

24 と 36 の両方をわれる、できるだけ大きい数(最大公約数)を探します。24 と 36 は、どちらも 12 でわれます。

24:36 = (24 \div 12):(36 \div 12) = 2:3

答えは $2:3$ です。もし 12 が思いつかなくても、まず 2 でわって $12:18$ 、また 2 でわって $6:9$ 、さらに 3 でわって $2:3$ と、少しずつわっていっても同じ答えになります。

小数の比は、10 倍や 100 倍して整数の比に直してから簡単にします。

0.6:1.5 = 6:15 = 2:5

分数の比は、分母の最小公倍数を両方にかけて整数の比に直します。

\frac{3}{4}:\frac{2}{3} = \left(\frac{3}{4} \times 12\right):\left(\frac{2}{3} \times 12\right) = 9:8

れい題 4(等しい比のxを求める)

$2:5 = 6:x$ の $x$ にあてはまる数を求めましょう。

解き方

前の数どうしをくらべると、 $2$ が $6$ になっているので、 $6 \div 2 = 3$ で 3 倍です。等しい比では、後ろの数も同じ 3 倍になります。

x = 5 \times 3 = 15

答えは 15 です。たしかめに $2:5$ と $6:15$ の比の値を出すと、どちらも $\dfrac{2}{5}$ で等しくなっています。

比の利用

比は、「全体を決まった割合で分ける」ときに大活躍します。

たとえばリボンを $3:5$ に分けるとき、全体を $3 + 5 = 8$ つ分と考えます。全体を 8 等分して、その 3 つ分と 5 つ分に分ければよいのです。「1 つ分がいくらか」をまず求めるのがコツです。

れい題 5(全体を比に分ける)

120 cm のリボンを、姉と妹で長さの比が $3:5$ になるように分けます。それぞれ何 cm になりますか。

解き方

全体は $3 + 5 = 8$ つ分です。1 つ分の長さは

120 \div 8 = 15

で 15 cm。だから

姉の分は $15 \times 3 = 45$ で 45 cm

妹の分は $15 \times 5 = 75$ で 75 cm

たしかめに $45 + 75 = 120$ で、全体とぴったり合います。

比は、地図や設計図にも使われています。実際(じっさい)の長さを縮めて(ちぢめて)かいた図を縮図(しゅくず)といい、縮めた割合を縮尺(しゅくしゃく)といいます。

たとえば縮尺が $1:1000$ の図では、図の上の 1 cm が、実際の 1000 cm(= 10 m)を表します。図の上で 5 cm なら、実際は

5 \times 1000 = 5000

で 5000 cm、つまり 50 m です。

縮尺(しゅくしゃく)

縮尺 $1:1000$ とは、「図の上の長さ : 実際の長さ $= 1:1000$ 」ということです。

実際の長さ = 図の上の長さ × 縮尺の数

図の上の長さ = 実際の長さ ÷ 縮尺の数

cm を m に直すときは 100 でわることをわすれずに。

§1文字と式

§2比の意味と表し方

§3等しい比と比を簡単にする方法

§4比の利用

文字と式

比の意味と表し方

等しい比と比を簡単にする方法

比の利用