答えと解説

(1) 線対称かどうかは、「1本の直線で折ったときにぴったり重なるか」で調べます。

Aは、たての直線(まん中を通る直線)で折ると左右がぴったり重なるので線対称です。

Eは、横の直線で折ると上下がぴったり重なるので線対称です。

Hは、たての直線でも横の直線でも折って重なるので線対称です(対称の軸は2本)。

Nは、どの直線で折ってもぴったり重なりません。線対称ではありません。

(2) 点対称かどうかは、「まん中の点を中心に180度回したときにぴったり重なるか」で調べます。

Nは、さかさまにしても同じNの形に見えるので点対称です。Hも、180度回すと同じ形になるので点対称です。

AとEは、さかさまにすると向きが変わってしまうので点対称ではありません。

Nのように「線対称ではないが点対称」という形があることに注意しましょう。折って重ならなくても、回すと重なることがあります。

線対称な図形の性質を思い出しましょう。

(1) 対応する2つの点を結ぶ直線は、対称の軸と垂直に交わります。「垂直」とは、直角(90度)に交わるということです。

(2) 対称の軸と交わった点から、対応する2つの点までの長さは等しくなっています。点Aから軸までが3cmなら、点Bから軸までも同じ3cmです。

この2つの性質は、線対称な図形をかくときにいつも使うので、セットで覚えておきましょう。

点対称な図形の性質を使います。

(1) 対応する2つの点を結ぶ直線は、かならず対称の中心を通ります。だから直線ABは点Oを通ります。

(2) 対称の中心から対応する2つの点までの長さは等しいので、OAが4cmならOBも4cmです。

直線ABはOを通るので、ABの長さはOAとOBを合わせた長さになります。

よってABは8cmです。

「対応する点を結ぶ直線は中心を通る」「中心から対応する点までは同じ長さ」の2つが点対称のかぎです。

(1) 正多角形はすべて線対称な図形で、対称の軸の数は頂点(角)の数と同じです。

正三角形は頂点が3つなので軸は3本。正方形は4本、正五角形は5本、正六角形は6本です。

(2) 正多角形が点対称になるのは、頂点の数が偶数のときだけです。

頂点の数を見ると、正方形は4、正六角形は6でどちらも偶数なので点対称です。正三角形の3と正五角形の5は奇数(きすう)なので、点対称ではありません。

正三角形を180度回してみると、頂点が下を向いてしまい、もとの形と重なりません。奇数の正多角形が点対称にならない理由は、実際に回すところを想像するとよくわかります。

2倍の拡大図では、対応するすべての辺の長さが2倍になります。

辺ABに対応する辺DE … $4 \times 2 = 8$ で 8cm

辺BCに対応する辺EF … $6 \times 2 = 12$ で 12cm

辺CAに対応する辺FD … $8 \times 2 = 16$ で 16cm

角の大きさは、拡大図でも変わりません。だから角Eは角Bと同じ70度です。

「辺の長さは2倍、角の大きさはそのまま」。角まで2倍にしないように気をつけましょう。

縮尺 $\frac{1}{1000}$ の地図は、実際の長さを1000分の1に縮めてかいた地図です。だから、実際の長さは地図上の長さを1000倍すれば求められます。

地図上の5cmは、実際には5000cmです。

単位をmに直します。1m = 100cm なので

実際の長さは50mです。

答えを5000cmのままにしないで、mに直して答えましょう。長さの問題では、単位の直し忘れがいちばん多いミスです。

縮図上の長さは、実際の長さを200でわれば求められます。cmで答えるので、先に実際の長さをcmに直しておきましょう。1m = 100cm です。

たて … 8mは800cm。

たては4cmです。

横 … 12mは1200cm。

横は6cmです。

検算してみましょう。$4 \times 200 = 800$(cm)で8m、$6 \times 200 = 1200$(cm)で12m。ちゃんともとの長さにもどるので正しいです。

「mのまま200でわって、それをcmだと思ってしまう」のがよくあるまちがいです。わり算の前に単位をcmにそろえるのがコツです。

(1) 実際の長さは、地図上の長さを25000倍します。

実際の道のりは150000cmです。単位を順に直していきます。1m = 100cm なので

で1500m。さらに 1km = 1000m なので

実際の道のりは1.5kmです。

(2) こんどは逆に、実際の長さを地図上の長さに直します。先に2kmをcmにそろえます。2kmは2000m、2000mは200000cmです。

地図上では8cmです。

検算すると、$8 \times 25000 = 200000$(cm)で、ちょうど2kmにもどります。「実際 → 地図はわり算、地図 → 実際はかけ算」と向きをまちがえないようにしましょう。

(1) 平行四辺形は、2本の対角線が交わる点を中心に180度回すと、もとの形にぴったり重なります。だから対称の中心は、対角線ACと対角線BDが交わる点です。

(2) 頂点Aを対称の中心のまわりに180度回すと、ちょうど反対側にある頂点Cに重なります。だから頂点Aに対応するのは頂点Cです。

同じように、頂点Bに対応するのは頂点Dです。辺ABは、Aの行き先がC、Bの行き先がDなので、辺CDに重なります。よって辺ABに対応する辺は辺CDです。

(3) 点対称な図形では、対称の中心から対応する2つの点までの長さは等しくなっています。AとCは対応する点なので、AOが5cmならCOも5cmです。

対角線ACは、AOとCOを合わせた長さなので

で10cmです。

「平行四辺形の対角線は、それぞれのまん中の点で交わる」という性質は、点対称という見方で説明できるのです。

2つの三角形は拡大図・縮図の関係なので、対応する辺の長さの比はすべて等しくなります。つまり、「高さとかげの長さの比」は、棒でも木でも同じです。

まず、木のかげが棒のかげの何倍かを求めます。

木のかげは棒のかげの7.5倍です。木の三角形は棒の三角形の7.5倍の拡大図なので、高さも7.5倍になります。

木の高さは9mです。

検算してみましょう。高さ9mの木のかげは、$9 \div 1.2 = 7.5$、$2 \times 7.5 = 15$(m)で、問題の15mと合っています。

はかれない木の高さも、「同じ時こくのかげ」を使えば、拡大図・縮図の考え方で求められます。

(1) 実際の長さを500でわると、縮図上の長さになります。先に40mをcmに直します。1m = 100cm なので、40mは4000cmです。

縮図の上では8cmになります。(検算: $8 \times 500 = 4000$ で4000cm、つまり40mにもどります。)

(2) 縮図上の6cmを、実際の長さにもどします。

実際には3000cm、つまり30mです。

ここで注意です。この30mは「目の高さの位置から、ビルのいちばん上までの高さ」です。地面からはかったビル全体の高さにするには、目の高さの1.4mをたす必要があります。

実際のビルの高さは31.4mです。

縮図を使って高さを求める問題では、最後に目の高さをたし忘れるミスがとても多いです。「どこからどこまでの長さを求めたのか」をいつも確かめましょう。

(1) 実際の長さは、地図上の長さを2000倍します。

たて … $4 \times 2000 = 8000$ で8000cm。1m = 100cm なので $8000 \div 100 = 80$ で、たては80mです。

横 … $5 \times 2000 = 10000$ で10000cm。$10000 \div 100 = 100$ で、横は100mです。

検算すると、80mは8000cmで $8000 \div 2000 = 4$(cm)、100mは10000cmで $10000 \div 2000 = 5$(cm)。地図上の長さにちゃんともどるので正しいです。

(2) 面積は、実際の長さに直してから計算します。長方形の面積は「たて × 横」なので

実際の公園の面積は8000m²です。

ここで大事な注意があります。「地図上の面積を2000倍すれば実際の面積になる」と考えてはいけません。長さが2000倍になると、面積はたてと横の両方が2000倍になるので、$2000 \times 2000 = 4000000$ 倍(400万倍)にもなるのです。面積を求めるときは、かならず先に長さを実際の長さに直しましょう。