2次関数

$y = ax^2 + bx + c$($a \ne 0$)の形で表される関数を2次関数といいます。そのグラフは放物線で、$a > 0$ なら下に凸(谷の形)、$a < 0$ なら上に凸(山の形)になります。放物線には対称の軸(軸)があり、軸とグラフの交点を頂点といいます。グラフをかくうえで最も大事な情報が、この頂点と軸です。

「$x$ 軸方向に $p$ 移動すると $x$ が $x - p$ に置き換わる」のは、符号が逆に見えて戸惑うところです。移動後のグラフ上の点 $(x, y)$ を $p$ だけ戻した点 $(x - p, \ y - q)$ が元のグラフ $y = ax^2$ の上にある、と考えると $y - q = a(x-p)^2$ が出てきて納得できます。

一般形 $y = ax^2 + bx + c$ は、そのままでは頂点が読み取れません。そこで、$x$ を含む項を $a(x-p)^2$ の形にまとめる変形(平方完成)をして基本形に直します。

平方完成はこの章のすべての話題(最大・最小、方程式、不等式)の土台になる計算です。展開して元の式に戻るか、必ず検算する習慣をつけましょう。

2次関数の値がいちばん大きく(小さく)なるのはどこか——グラフをかけば一目でわかります。下に凸のグラフは頂点で最小になり、いくらでも大きくなるので最大値はありません。上に凸ならその逆です。

定義域が $0 \le x \le 3$ のように制限されると話が変わります。最大・最小の候補は「頂点」と「定義域の両端」だけです。グラフの使う部分だけを太くなぞるイメージで、軸が定義域の中にあるか外にあるかを確認しながら読み取ります。

場合分け問題は、3通り(または2通り)それぞれの状況でグラフの略図をかくのが鉄則です。図をかけば「どこで最小になるか」は迷いません。

$ax^2 + bx + c = 0$($a \ne 0$)の形の方程式を2次方程式といいます。因数分解できるときは $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ の形にして解きますが、因数分解が見つからないときは解の公式を使います。

2次方程式は、グラフと結びつけると見通しがよくなります。$ax^2 + bx + c = 0$ の実数解は、放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と $x$ 軸($y = 0$)の共有点の $x$ 座標そのものです。

$x^2 - 2x - 3 < 0$ のような不等式が2次不等式です。解き方の本質はただ1つ、「グラフをかいて、$x$ 軸より下(または上)にある部分の $x$ の範囲を読む」ことです。式変形だけで解こうとせず、必ず放物線の絵を思い浮かべましょう。

$x^2$ の係数が負のときは、両辺に $-1$ を掛けて(不等号の向きが変わります)係数を正に直してから解くと、パターンが1つで済みミスが減ります。

判別式 $D < 0$ で $x$ 軸と共有点をもたない場合にも注意しましょう。たとえば $x^2 - 2x + 3 > 0$ は、$D = 4 - 12 < 0$ でグラフ全体が $x$ 軸の上にあるので、解はすべての実数です。逆に $x^2 - 2x + 3 < 0$ の解はありません。

このように、2次不等式や「解の存在条件」の問題は、条件をグラフの形(凸の向き・$x$ 軸との共有点・軸の位置・端点の符号)に翻訳するのが定石です。式だけを見ずに、図に語らせましょう。