答えと解説

平方完成は「$x$ の係数の半分の2乗を足して引く」が基本です。

(1) $x$ の係数 $-6$ の半分は $-3$、その2乗は $9$ です。

よって頂点は $(3, \ -5)$。

(2) まず $x^2$ の係数 $2$ でくくります。

かっこの中で $x$ の係数 $2$ の半分 $1$ の2乗を足して引くと

よって頂点は $(-1, \ -3)$。

かっこの外に出す $-1$ に係数 $2$ を掛け忘れるのが典型的なミスです。展開して元の式に戻るか検算しましょう。

$y = ax^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると $y = a(x-p)^2 + q$ になります。$x$ は $x - p$ に、$y$ は $y - q$ に置き換わる、と覚えます。

$a = 3$、$p = 1$、$q = 2$ なので

展開して整理すると

「$x$ 軸方向に $+1$ 移動なのに式は $x - 1$」という符号の逆転に注意しましょう。頂点が $(0,0)$ から $(1,2)$ に移ることを式から確認すれば検算になります。

平方完成して頂点を求めます。

$x^2$ の係数が $-1 < 0$ なので、グラフは上に凸の放物線です。上に凸のグラフは頂点がいちばん高い点なので、$x = 2$ で最大値 $5$ をとります。

一方、$x$ を大きく(または小さく)していくと $y$ はいくらでも小さくなるので、最小値はありません。

「最大値・最小値」を答えるときは、必ず「そのときの $x$ の値」もセットで書く習慣をつけましょう。

(1) 掛けて $2$、足して $-5$ になる整数の組はないので、解の公式を使います。$a = 1$、$b = -5$、$c = 2$ より

(2) たすき掛けで因数分解できます。$3x^2 = 3x \times x$、$-2 = (-1) \times 2$ と分けると、$3 \times 2 + 1 \times (-1) = 5$ で $x$ の係数が作れるので

よって $x = \dfrac{1}{3}, \ -2$。

まず因数分解を試し、できなければ解の公式、という順番が計算を速くするコツです。解は元の方程式に代入して検算しましょう。

どちらも左辺を因数分解し、下に凸の放物線のグラフを思い浮かべて解きます。

(1) 掛けて $-6$、足して $-1$ になる2数は $2$ と $-3$ なので

グラフは $x = -2, \ 3$ で $x$ 軸と交わり、$x$ 軸より下(負)になるのは2解の間です。よって

(2) 掛けて $3$、足して $-4$ になる2数は $-1$ と $-3$ なので

グラフが $x$ 軸以上(0以上)になるのは2解の外側で、等号があるので交点 $x = 1, \ 3$ も含めます。よって

「小なりは間、大なりは外側」(下に凸のとき)を、毎回グラフの絵とセットで確認しましょう。

まず平方完成します。

下に凸で、軸は直線 $x = 1$。軸は定義域 $-1 \le x \le 2$ の中にあるので、最小値は頂点でとり、$x = 1$ のとき最小値 $1$ です。

最大値は定義域の両端のうち、軸 $x = 1$ から遠い方でとります。$x = -1$ のとき

$x = 2$ のとき

軸からの距離は $x = -1$ の方が遠く($2 > 1$)、実際に値も $9 > 3$ なので、$x = -1$ で最大値 $9$ です。

定義域つきの最大・最小は「頂点と両端の3か所の $y$ の値」を全部計算して比べれば確実です。グラフの略図をかいて確認しましょう。

頂点が与えられたら、基本形 $y = a(x-p)^2 + q$ からスタートするのが定石です。頂点 $(1, \ -2)$ より

とおけます。これが点 $(3, \ 6)$ を通るので、$x = 3$、$y = 6$ を代入して

これを解くと $4a = 8$ より $a = 2$。したがって求める2次関数は

検算: $x = 3$ のとき $y = 2 \cdot 9 - 12 = 6$ ✓、頂点は平方完成の形から $(1, \ -2)$ ✓。

「頂点や軸の情報 → 基本形でおく」「通る3点の情報 → 一般形 $y = ax^2+bx+c$ でおく」と、条件に応じて式の形を使い分けるのがポイントです。

異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ です。$x$ の係数が $2m$(偶数の形)なので、$D/4 = b'^2 - ac$ を使うと計算が楽です。

左辺を因数分解します。掛けて $-6$、足して $-1$ になる2数は $-3$ と $2$ なので

これは $m$ についての2次不等式です。下に凸のグラフが正になるのは2解の外側なので

たとえば $m = 4$ のとき、元の方程式は $x^2 + 8x + 10 = 0$ で $D/4 = 16 - 10 = 6 > 0$ となり、確かに異なる2つの実数解をもちます。判別式の問題は、答えの範囲から1つ値を選んで確かめると安心です。

$x$ 軸との共有点の $x$ 座標は、$y = 0$ とおいた2次方程式の実数解です。

(1) $x^2 - 2x - 8 = 0$ を解きます。掛けて $-8$、足して $-2$ になる2数は $2$ と $-4$ なので

よって $x = -2, \ 4$ で、共有点は $(-2, \ 0)$ と $(4, \ 0)$ の2点です。

(2) $x^2 - 6x + 9 = 0$ を解きます。

よって $x = 3$(重解)。

判別式は $D/4 = 9 - 9 = 0$ で、グラフは $x$ 軸と $(3, \ 0)$ の1点で接します。

重解のときは「交わる」のではなく「接する」と表現します。共有点の個数($D$ の符号)とセットで整理しておきましょう。

それぞれの2次不等式を解き、数直線で共通範囲を求めます。

【1つ目】 $x^2 - 2x - 3 \le 0$ を因数分解して

下に凸のグラフが0以下になるのは2解の間(等号つき)なので

【2つ目】 $x^2 - 4x > 0$ は共通因数 $x$ でくくれて

正になるのは2解 $0, \ 4$ の外側なので

【共通範囲】 数直線に2つの範囲をかき込むと、重なるのは $-1 \le x \le 3$ と $x < 0$ の重なりだけです。よって

端点の含む・含まない($\le$ か $<$ か)を数直線上の黒丸・白丸で区別してかくと、境界のミスを防げます。$x = -1$ は両方を満たし($1+2-3=0 \le 0$ ✓、$1+4=5>0$ ✓)、$x = 0$ は2つ目を満たさないことを代入で確認できます。

$y = x^2 + mx + m + 3$ のグラフで考えます。$x^2$ の係数は $1 > 0$ で下に凸なので、「すべての $x$ で $y > 0$」となる条件は、グラフが $x$ 軸と共有点をもたないこと、すなわち判別式 $D < 0$ です。

左辺を因数分解します。掛けて $-12$、足して $-4$ になる2数は $-6$ と $2$ なので

下に凸のグラフが負になるのは2解の間なので

検算として $m = 0$ を選ぶと、不等式は $x^2 + 3 > 0$ となり、確かにすべての実数 $x$ で成り立ちます。「すべての $x$ で正 ⇔ 下に凸かつ $D < 0$」という言い換えは頻出なので、グラフの絵と一緒に覚えましょう。

平方完成すると

下に凸で、軸は直線 $x = a$ です。軸の位置が定数 $a$ によって動くので、軸と区間 $0 \le x \le 2$ の位置関係で3つに場合分けします。

【場合1】 $a < 0$(軸が区間より左)のとき
区間内でグラフは右上がりなので、左端 $x = 0$ で最小。

【場合2】 $0 \le a \le 2$(軸が区間の中)のとき
頂点が区間内にあるので、$x = a$ で最小。

【場合3】 $a > 2$(軸が区間より右)のとき
区間内でグラフは右下がりなので、右端 $x = 2$ で最小。

以上をまとめると答えのとおりです。

境界の $a = 0$ を場合1と2のどちらに入れても値は $2$ で一致する($a=0$ で $-a^2+2 = 2$)ので、境界の等号はどちらにつけても正解です。3つの場合それぞれでグラフの略図をかくことが、場合分けを間違えない最大のコツです。

解の配置の問題は、$f(x) = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフ(下に凸)が「$x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる」条件に翻訳します。必要な条件は次の3つです。

1. 判別式 $D > 0$(異なる2つの実数解)
2. 軸が $x > 0$ の範囲にある(2解の平均が正)
3. $f(0) > 0$(原点でグラフが $x$ 軸より上)

【条件1】 $x$ の係数が偶数の形なので $D/4$ を使って

よって $m < -1, \ 2 < m$。

【条件2】 軸は直線 $x = m$ なので

【条件3】 $f(0) = m + 2 > 0$ より

【共通範囲】 3つを数直線で重ねると、$m < -1, \ 2 < m$ と $m > 0$ と $m > -2$ の共通部分は

検算として $m = 3$ のとき、方程式は $x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5) = 0$ で解は $x = 1, \ 5$。確かに異なる2つの正の解です ✓。

「$D$・軸・端点の符号」の3点セットは解の配置問題の定石です。どれか1つでも欠けると(たとえば $f(0)>0$ を忘れると)正しい範囲になりません。

解が「2解の間」の形 $-1 < x < 3$ になっているので、$y = ax^2 + bx + 6$ のグラフは上に凸($a < 0$)で、$x$ 軸と $x = -1, \ 3$ で交わっているはずです。

したがって左辺は

と因数分解できます。右辺を展開すると

元の式と係数を比較します。定数項から $-3a = 6$、よって

これは $a < 0$ を満たします。$x$ の係数から

検算: $a = -2$、$b = 4$ のとき不等式は $-2x^2 + 4x + 6 > 0$。両辺を $-2$ で割ると(不等号の向きが変わって)

左辺を因数分解すると $(x+1)(x-3) < 0$ となり

よって解は $-1 < x < 3$ となり、確かに一致します ✓。

「不等式の解の形から、グラフの凸の向きと $x$ 軸との交点を復元する」という逆向きの発想がポイントです。$a > 0$ のままだと解が「外側」の形になってしまい矛盾する、と確認する一言を答案に添えると完璧です。