答えと解説

定義どおり、要素を1つずつ確認します。

(1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に属する要素の集合です。$A$ の要素 $1, 2, 3, 6$ のうち $B$ にも属するのは $2$ と $6$ なので

(2) $A \cup B$ は少なくとも一方に属する要素の集合です。$A$ の要素 $1, 2, 3, 6$ と $B$ の要素 $2, 4, 6, 8$ を合わせて、重複を除いて小さい順に並べると

(3) $\overline{A}$ は $U$ の要素のうち $A$ に属さないものの集合です。$U$ の要素 $1$ から $10$ のうち $1, 2, 3, 6$ を除いて

和集合では $2$ や $6$ のような共通の要素を二重に書かないこと、補集合では必ず全体集合 $U$ を基準にすることに注意しましょう。

(1) $12$ を割り切る正の整数を小さい順に探します。$12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ なので

ペアで探す($1$ と $12$、$2$ と $6$、$3$ と $4$)と数え落としを防げます。

(2) $-2 \le x < 3$ を満たす整数を書き並べます。$-2$ は等号があるので含み、$3$ は等号がないので含みません。

(3) $5$ は $12$ を割り切らないので($12 \div 5$ は整数にならない)、$5$ は $A$ の要素ではありません。よって $5 \in A$ は正しくなく、$5 \notin A$ です。

$\{1, 2, 3\}$ の要素 $1$、$2$、$3$ はすべて $A$ の要素なので、$\{1, 2, 3\} \subset A$ は正しいです。

$\in$ は「要素と集合」の関係、$\subset$ は「集合と集合」の関係を表す記号です。使い分けをここで確実にしておきましょう。また、(2) のように不等号の等号の有無(端の値を含むか)は最頻出の注意点です。

命題 $p \Longrightarrow q$ が真であることを示すには「$p$ を満たすすべてのものが $q$ を満たす」ことを、偽であることを示すには反例を1つ挙げます。

(1) $x = 3$ のとき

なので、仮定を満たす $x$(この場合 $x = 3$ のみ)は必ず結論を満たします。よって真です。

(2) $x^2 = 9$ を解くと、$x = 3$ または $x = -3$ です。

$x = -3$ は仮定 $x^2 = 9$ を満たしますが($(-3)^2 = 9$)、結論 $x = 3$ を満たしません。よって $x = -3$ が反例となり、この命題は偽です。

「2乗の式から元の値に戻すときは符号が2通り」——これが反例探しでまず疑うべきポイントです。反例は「仮定を満たすのに結論を満たさない」ものであることを必ず確認しましょう。

必要・十分の判定は、必ず両方向の矢印の真偽を調べます。$p \Longrightarrow q$ が真のとき、$p$ は $q$ であるための十分条件、$q$ は $p$ であるための必要条件です。

(1) $p$: $x = 3$、$q$: $x^2 = 9$ とします。

$p \Longrightarrow q$ は真($3^2 = 9$)。

$q \Longrightarrow p$ は偽(反例: $x = -3$)。

行き($p \Longrightarrow q$)だけが真なので、$x = 3$ は十分条件であるが必要条件ではありません。

(2) $p$: $x > 0$、$q$: $x > 1$ とします。

$p \Longrightarrow q$ は偽(反例: $x = \dfrac{1}{2}$ は $x > 0$ を満たすが $x > 1$ を満たさない)。

$q \Longrightarrow p$ は真($x > 1$ ならば当然 $x > 0$)。

戻り($q \Longrightarrow p$)だけが真なので、$x > 0$ は必要条件であるが十分条件ではありません。

集合で確認すると、(2) は $\{x \mid x > 1\} \subset \{x \mid x > 0\}$ で、範囲の広い方 $x > 0$ が必要条件です。「広い方が必要条件」と覚えておくと検算になります。

もとの命題を $p \Longrightarrow q$($p$: $x = 1$、$q$: $x^2 = 1$)とすると、逆は $q \Longrightarrow p$、裏は $\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$、対偶は $\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ です。

【逆】 $x^2 = 1 \Longrightarrow x = 1$

$x^2 = 1$ の解は $x = 1$ と $x = -1$ です。$x = -1$ は仮定を満たすのに結論 $x = 1$ を満たさないので、偽です。

【裏】 $x \ne 1 \Longrightarrow x^2 \ne 1$

$x = -1$ は $x \ne 1$ を満たしますが、$x^2 = (-1)^2 = 1$ なので $x^2 \ne 1$ を満たしません。よって偽です。

【対偶】 $x^2 \ne 1 \Longrightarrow x \ne 1$

もとの命題「$x = 1 \Longrightarrow x^2 = 1$」は真($1^2 = 1$)であり、対偶の真偽はもとの命題と一致するので、対偶も真です。直接確かめるなら、「もし $x = 1$ なら $x^2 = 1$ になってしまい仮定に反するので $x \ne 1$」と考えられます。

「逆と裏は互いに対偶の関係にある」ことも覚えておきましょう。実際、上の逆と裏はどちらも偽で真偽が一致しています。もとの命題が真でも逆・裏が真とは限らない、が最大の注意点です。

数直線をかいて、$A$ の範囲($-1$ 以上 $3$ 以下)と $B$ の範囲($2$ より大きく $5$ 以下)を上下に並べて図示するのが定石です。端の値を含むかどうか(等号の有無)を白丸・黒丸で区別してかきましょう。

(1) 共通部分は両方の範囲が重なる部分です。重なりは $2$ から $3$ までで、$x = 2$ は $B$ に含まれない($2 < x$ で等号なし)ため除き、$x = 3$ は両方に含まれるので含めます。

(2) 和集合は少なくとも一方に含まれる部分です。$A$ が $-1$ から $3$ まで、$B$ が $2$ の直後から $5$ までをカバーし、$2$ から $3$ の部分で重なってつながっているので、全体として

(3) $\overline{A}$ は実数全体から $A$ を除いた部分、つまり $-1 \le x \le 3$ の否定です。「以上・以下」の否定では等号が消えることに注意して、$\overline{A}$ は「$x < -1$ または $x > 3$」を満たす実数全体の集合となります。

補集合をとると等号の有無が反転する($\le$ の否定は $>$)こと、共通部分・和集合の端点の扱いが、この型の問題のつまずきポイントです。数直線の図を省略しないことが正確さへの近道です。

ド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ を、要素の計算で確かめる問題です。

【左辺の計算】 まず和集合を求めます。

$U$ からこれらを除いて

【右辺の計算】 それぞれの補集合を求めます。

両方に属する要素を拾うと

確かに $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} = \{2, 4, 8\}$ で一致しました。

意味を考えると、「$A$ にも $B$ にも入っていない」(左辺)ことと「$A$ の外にあり、かつ $B$ の外にある」(右辺)ことは同じ、というのがド・モルガンの法則です。テストでは法則を丸暗記するだけでなく、このように具体例で検算できると強いです。

各問とも $p \Longrightarrow q$ と $q \Longrightarrow p$ の両方向を調べます。

(1) $p \Longrightarrow q$: $x = 0$ のとき $x^2 = 0 = x$ なので真。
$q \Longrightarrow p$: $x^2 = x$ すなわち $x^2 - x = 0$ より $x(x-1) = 0$、つまり $x = 0$ または $x = 1$。反例 $x = 1$ があるので偽。
よって十分条件であるが必要条件ではありません。

(2) $q \Longrightarrow p$: $x > 0$ かつ $y > 0$ ならば、和も積も正なので真。
$p \Longrightarrow q$: $xy > 0$ より $x$ と $y$ は同符号(ともに正か、ともに負)。もしともに負なら $x + y < 0$ となり $x + y > 0$ に反するので、ともに正しかありえません。よって真。
両方向が真なので必要十分条件です。

(3) $q \Longrightarrow p$: $-1 \le x \le 2$ ならば $|x| \le 2$ は成り立つので真($-1 \le x \le 2$ の範囲は $-2 \le x \le 2$ にすっぽり含まれる)。
$p \Longrightarrow q$: 反例 $x = -2$。$|-2| = 2 \le 2$ を満たすが、$-1 \le x$ を満たさないので偽。
よって必要条件であるが十分条件ではありません。

(4) $p \Longrightarrow q$: 反例 $x = \dfrac{1}{2}$。$x > 0$ だが $x^2 = \dfrac{1}{4} \le 1$ なので偽。
$q \Longrightarrow p$: $x^2 > 1$ の解は $x > 1$ または $x < -1$。反例 $x = -2$ は $x^2 = 4 > 1$ だが $x > 0$ でないので偽。
両方向とも偽なので、必要条件でも十分条件でもありません。

この4問で4種類の答えがすべて登場しました。「両方向を調べて、真になった矢印の根元が十分条件」——この手順を機械的に実行すれば迷いません。反例には $0$、$1$、負の数、分数を優先的に試すのがコツです。

条件の否定は、「かつ」と「または」を入れかえ、それぞれの条件を否定する、というド・モルガンの法則に従って作ります。

(1) $x > 2$ の否定は「$x > 2$ でない」、つまり

否定すると等号の有無が入れかわる($>$ の否定は $\le$)ことに注意します。「$x < 2$」としてしまうと $x = 2$ の場合が抜け落ちる、最頻出のミスです。

(2) 「$p$ かつ $q$」の否定は「$\overline{p}$ または $\overline{q}$」なので、「$x < 0$ または $y < 0$」となります。

$x \ge 0$ の否定が $x < 0$(等号が消える)である点も (1) と同様です。

(3) 「$p$ または $q$」の否定は「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」です。「偶数である」の否定は「奇数である」、「$3$ の倍数である」の否定は「$3$ の倍数でない」なので、

「$n$ は奇数であり、かつ $n$ は $3$ の倍数でない」

となります。

検算のコツは具体例です。たとえば (3) で $n = 5$ は「偶数でも $3$ の倍数でもない」ので、もとの条件を満たさず、否定の条件(奇数かつ $3$ の倍数でない)を満たします。もとの条件と否定は、どんな値に対してもちょうど一方だけが成り立つはずです。

結論「$m$ と $n$ はともに奇数」の否定は、ド・モルガンの法則により「$m$ または $n$ が偶数(少なくとも一方が偶数)」です。仮定「$mn$ が奇数」の否定は「$mn$ が偶数」です。よって対偶は

「$m$ と $n$ の少なくとも一方が偶数ならば、$mn$ は偶数である」

となります。これを証明します。

【証明】 $m$ と $n$ の少なくとも一方が偶数であるとする。

$m$ が偶数のとき、整数 $k$ を用いて $m = 2k$ と表せるので

$kn$ は整数なので $mn$ は偶数である。

$n$ が偶数のときも同様に、$n = 2k$($k$ は整数)と表せて

となり、$mn$ は偶数である。

いずれの場合も $mn$ は偶数なので、対偶は真である。したがって、もとの命題も真である。(証明終)

この問題の最大のポイントは、「ともに奇数」の否定を「ともに偶数」と間違えないことです。「かつ」の否定は「または」——つまり「少なくとも一方が偶数」です。対偶を作る段階での否定のミスは証明全体を崩すので、否定を作ったら具体例で確認する習慣をつけましょう。

「$x > a$」が「$2 < x < 5$」であるための必要条件であるとは、命題

が真であることです。集合の言葉に直すと、$P = \{x \mid 2 < x < 5\}$、$Q = \{x \mid x > a\}$ として

が成り立つことです。つまり、区間 $2 < x < 5$ 全体が、範囲 $x > a$ にすっぽり含まれればよいのです。

数直線で考えます。$Q$ は $a$ より右側全体なので、$P \subset Q$ となるためには、$a$ が区間 $P$ の左端 $2$ 以下にあればよく、条件は

【境界 $a = 2$ の確認】 $a = 2$ のとき $Q = \{x \mid x > 2\}$ です。$P$ のどの要素 $x$ も $2 < x$ を満たすので $P \subset Q$ が成り立ちます。よって $a = 2$ は含まれます。

【$a > 2$ がだめなことの確認】 たとえば $a = 2.1$ とすると、$x = 2.05$ は $2 < x < 5$ を満たしますが $x > 2.1$ を満たしません。つまり $P \subset Q$ が崩れます。

「必要条件 ⟺ 含む側(広い方)」という対応を集合の包含関係に翻訳し、数直線で端点を丁寧に検討する——この流れが定石です。境界の値(ここでは $a = 2$)を含むかどうかは、必ず個別に確認しましょう。

対偶は

「$n$ が $3$ の倍数でないならば、$n^2$ は $3$ の倍数でない」

です。$3$ の倍数でない整数は、整数 $k$ を用いて $n = 3k + 1$ または $n = 3k + 2$ と表せます(3で割った余りが $1$ か $2$)。この2つの場合に分けて証明します。

【場合1】 $n = 3k + 1$ のとき

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は $3$ で割ると $1$ 余る数であり、$3$ の倍数ではない。

【場合2】 $n = 3k + 2$ のとき

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は $3$ で割ると $1$ 余る数であり、$3$ の倍数ではない。

いずれの場合も $n^2$ は $3$ の倍数でないので、対偶は真である。したがって、もとの命題も真である。(証明終)

場合2で $4 = 3 + 1$ と分けて「$3 \times m + 1$($m$ は整数)」の形に整理するのがポイントです。展開の検算として、たとえば $n = 5 = 3 \times 1 + 2$ で $n^2 = 25 = 3 \times 8 + 1$ となり、確かに余り $1$ です。この命題は次の問題(√3 の無理数性の証明)で使う重要な補題です。

背理法で証明します。「無理数である」の否定「有理数である」を仮定して矛盾を導きます。

【証明】 $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。このとき、互いに素な正の整数 $p$、$q$ を用いて

と表せる。両辺に $q$ を掛けて

両辺を2乗すると

左辺は $3$ の倍数なので、$p^2$ は $3$ の倍数である。すると、与えられた事実により $p$ は $3$ の倍数である。そこで $p = 3k$($k$ は正の整数)とおくと

両辺を $3$ で割って

よって $q^2$ は $3$ の倍数であり、再び与えられた事実により $q$ も $3$ の倍数である。

すると $p$ と $q$ はともに $3$ の倍数となり、公約数 $3$ をもつ。これは $p$ と $q$ が互いに素であることに矛盾する。

したがって、$\sqrt{3}$ は有理数ではなく、無理数である。(証明終)

$\sqrt{2}$ の場合(教科書本文の例題)とまったく同じ骨組みで、「偶数」の役割を「$3$ の倍数」が担っています。「互いに素とおく → 2乗して整数の式にする → 両方が同じ数の倍数になって矛盾」という流れを、型として使えるようにしておきましょう。前問の補題($n^2$ が $3$ の倍数なら $n$ も $3$ の倍数)を使う箇所を証明中に明記することも、答案では重要です。

「$b = 0$」の部分を背理法で示し、その後 $a = 0$ を導く、という2段構えの証明です。

【証明】 $a + b\sqrt{2} = 0$ とする。

まず、$b \ne 0$ と仮定する。このとき $a + b\sqrt{2} = 0$ を $\sqrt{2}$ について解くことができて

$b \ne 0$ なので両辺を $b$ で割ると

$a$、$b$ は有理数なので、右辺 $-\dfrac{a}{b}$ は有理数である(有理数どうしの割り算は、割る数が $0$ でなければ有理数)。すると $\sqrt{2}$ が有理数となり、$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

よって、仮定 $b \ne 0$ は誤りであり、$b = 0$ である。

このとき、もとの式 $a + b\sqrt{2} = 0$ に $b = 0$ を代入すると

したがって、$a = b = 0$ である。(証明終)

ポイントは2つあります。第一に、背理法の仮定を「$b \ne 0$」に置くことです。$b$ で割るという操作は $b \ne 0$ のときしかできないので、まず $b$ の方を片づけます(「$a \ne 0$ または $b \ne 0$」を仮定するより、この方が見通しがよい)。第二に、「有理数 ÷ 有理数(≠0)は有理数」という事実を明記することです。この結果は「$a + b\sqrt{2} = c + d\sqrt{2}$ ならば $a = c$ かつ $b = d$(係数比較)」の根拠となる重要な定理で、数学IIの複素数の相等ともよく似た構造をしています。