練習問題

全体集合を $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ とし、$A = \{1, 2, 3, 6\}$、$B = \{2, 4, 6, 8\}$ とする。次の集合を求めよ。
(1) $A \cap B$
(2) $A \cup B$
(3) $\overline{A}$

$12$ の正の約数全体の集合を $A$ とし、$-2 \le x < 3$ を満たす整数 $x$ 全体の集合を $B$ とする。
(1) $A$ の要素を書き並べて表せ。
(2) $B$ の要素を書き並べて表せ。
(3) $5 \in A$、$\{1, 2, 3\} \subset A$ はそれぞれ正しいか。

$x$ は実数とする。次の命題の真偽を調べよ。偽の場合は反例を1つ挙げよ。
(1) $x = 3 \Longrightarrow x^2 = 9$
(2) $x^2 = 9 \Longrightarrow x = 3$

$x$ は実数とする。次の空らんに「十分条件であるが必要条件ではない」「必要条件であるが十分条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち適切なものを入れよ。
(1) $x = 3$ は $x^2 = 9$ であるための( )。
(2) $x > 0$ は $x > 1$ であるための( )。

$x$ は実数とする。命題「$x = 1 \Longrightarrow x^2 = 1$」の逆・裏・対偶をそれぞれ述べ、その真偽を調べよ。

実数全体を全体集合とし、$A = \{x \mid -1 \le x \le 3\}$、$B = \{x \mid 2 < x \le 5\}$ とする。次の集合を求めよ。
(1) $A \cap B$
(2) $A \cup B$
(3) $\overline{A}$

全体集合を $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ とし、$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{3, 6, 9\}$ とする。$\overline{A \cup B}$ と $\overline{A} \cap \overline{B}$ をそれぞれ求め、両者が一致することを確かめよ。

$x$、$y$、$m$、$n$ は実数とする。次の(1)〜(4)について、$p$ は $q$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」「必要条件であるが十分条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のいずれかを答えよ。
(1) $p$: $x = 0$、 $q$: $x^2 = x$
(2) $p$: $x + y > 0$ かつ $xy > 0$、 $q$: $x > 0$ かつ $y > 0$
(3) $p$: $|x| \le 2$、 $q$: $-1 \le x \le 2$
(4) $p$: $x > 0$、 $q$: $x^2 > 1$

次の条件の否定を述べよ。ただし $x$、$y$ は実数、$n$ は整数とする。
(1) $x > 2$
(2) $x \ge 0$ かつ $y \ge 0$
(3) $n$ は偶数である、または $n$ は $3$ の倍数である

整数 $m$、$n$ について、次の命題を対偶を利用して証明せよ。
「$mn$ が奇数ならば、$m$ と $n$ はともに奇数である」

$a$ は実数の定数とする。$x$ に関する条件「$x > a$」が、条件「$2 < x < 5$」であるための必要条件となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

整数 $n$ について、次の命題を対偶を利用して証明せよ。
「$n^2$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数である」

$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。ただし、整数 $n$ について「$n^2$ が $3$ の倍数ならば $n$ は $3$ の倍数である」ことは使ってよい。

$a$、$b$ は有理数とする。$a + b\sqrt{2} = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明せよ。ただし、$\sqrt{2}$ が無理数であることは使ってよい。