数と式

整式の整理と展開

$3x^2 - 5x + 1$ のように、文字と数の積(単項式)を足し合わせた式を整式といいます。文字の部分が同じ項(同類項)はまとめて整理します。整式どうしの積は、分配法則を使ってすべての項を掛け合わせることで展開できます。

乗法公式

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$

3乗の公式も数学IIで頻出なので、いまのうちに覚えておくと得です。

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3

例題 1

$(2x+3)(2x-3)$ と $(x+2)(x+5)$ を展開せよ。

解き方

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ で

(2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9

$(x+a)(x+b)$ 型の公式で、 $a+b=7$ 、 $ab=10$ だから

(x+2)(x+5) = x^2 + 7x + 10

複雑な式は、共通のかたまりを1つの文字とみなす(おき換える)と見通しがよくなります。たとえば $(a+b+c)^2$ は $a+b=X$ とおけば $(X+c)^2 = X^2 + 2cX + c^2$ と計算できて、

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

が得られます。

因数分解

因数分解は展開の逆の操作で、整式をいくつかの整式の積の形に直すことです。方程式や不等式を解く場面で何度も使う、高校数学で最重要の計算技術です。

因数分解の手順

1. まず共通因数をくくり出す
2. 公式( $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ など)が使えないか確認する
3. $acx^2+(ad+bc)x+bd$ 型は「たすき掛け」を使う
4. 文字が複数あるときは、最も次数の低い文字について整理する

例題 2(たすき掛け)

$3x^2 + 7x + 2$ を因数分解せよ。

解き方

$3x^2$ を $3x \times x$ 、定数項 $2$ を $1 \times 2$ に分けて、たすき掛けで $x$ の係数 $7$ を作れる組合せを探します。

$3 \times 2 + 1 \times 1 = 7$ となる組合せが見つかるので

3x^2 + 7x + 2 = (3x + 1)(x + 2)

展開して元に戻るか必ず検算しましょう。

例題 3(次数の低い文字で整理)

$x^2 + xy + 2x + y + 1$ を因数分解せよ。

解き方

$x$ については2次、 $y$ については1次なので、次数の低い $y$ について整理します。

x^2 + xy + 2x + y + 1 = y(x+1) + (x^2 + 2x + 1)

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$ だから、共通因数 $x+1$ が現れて

y(x+1) + (x+1)^2 = (x+1)(x+y+1)

実数・平方根・絶対値

実数は、 $\dfrac{2}{3}$ のように分数で表せる有理数と、 $\sqrt{2}$ や $\pi$ のように表せない無理数に分けられます。有理数を小数で表すと、有限小数か循環小数になります。

平方根の計算規則

$a>0$ 、 $b>0$ のとき

$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 、 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ 、 $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$

また、どんな実数 $a$ でも $\sqrt{a^2} = |a|$ (絶対値がつくことに注意!)

分母に根号があるときは、分母を有理化します。分母が $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形なら、 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ を分母分子に掛けると、 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b$ で根号が消えます。

例題 4(有理化)

$\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。

解き方

分母分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛けます。

\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}

絶対値

$|a|$ は数直線上での原点からの距離を表します。

$a \ge 0$ のとき $|a| = a$ 、 $a < 0$ のとき $|a| = -a$

絶対値を含む式は、中身の符号で場合分けして外すのが基本です。

1次不等式

不等式は、両辺に同じ数を足しても引いても不等号の向きは変わりません。両辺に正の数を掛けても向きは変わりませんが、負の数を掛ける(割る)と不等号の向きが逆になります。ここが方程式との最大の違いで、いちばんミスが出るポイントです。

例題 5

不等式 $5 - 2x < 11$ を解け。

解き方

$5$ を右辺に移項して

-2x < 6

両辺を $-2$ で割ります。負の数で割るので不等号の向きが逆になり

x > -3

連立不等式は、それぞれの不等式を解いて、数直線上で共通範囲を求めます。「 $A$ かつ $B$ 」なので、両方を満たす部分だけが答えです。

§1整式の整理と展開

§2因数分解

§3実数・平方根・絶対値

§41次不等式

整式の整理と展開

因数分解

実数・平方根・絶対値

1次不等式