答えと解説

(1) $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の公式を使います。$a=3$、$b=-5$ なので、$a+b = -2$、$ab = -15$。よって

(2) $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式で、$a=3x$、$b=2$ とすると

公式を「形」で覚えるだけでなく、$a$ と $b$ に何を当てはめたかを毎回意識すると符号ミスが減ります。

(1) 掛けて $12$、足して $-7$ になる2数を探します。掛けて正・足して負なので両方とも負の数。$(-3) \times (-4) = 12$、$(-3) + (-4) = -7$ なので

(2) $4x^2 = (2x)^2$、$25 = 5^2$ なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式が使えます。

分母が $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ なので、分母分子に $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を掛けます。

分母は和と差の積の公式で $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$ となるので

分母と分子の $2$ が約分できるところまで確認して答えましょう。

$x$ の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

両辺を $-2$ で割ります。負の数で割るので不等号の向きが逆になることに注意して

「負の数で割ったら不等号の向きが変わる」は1次不等式で最も多いミスです。最後に $x = 0$ など適当な値を元の不等式に入れて検算する習慣をつけましょう。

掛ける順番を工夫します。$(x+1)(x-1)$ と $(x+2)(x-2)$ を先に計算すると、和と差の積の公式が使えます。

あとは $x^2 = X$ とみなして

左から順に掛けると計算量が大きくなります。「組合せを変えると公式が使えないか?」と考えるのが計算を速くするコツです。

たすき掛けを使います。$6x^2 = 2x \times 3x$、$-12 = 3 \times (-4)$ と分けてみると

となり、$x$ の係数 $1$ が作れます。よって

たすき掛けは「積が $6$ になる組」と「積が $-12$ になる組」の組合せを試行錯誤する作業です。うまくいかなくても焦らず、組合せを順に試しましょう。最後に展開して検算するのを忘れずに。

文字が2つあるので、$x$ について整理します(どちらも2次なのでどちらでもよい)。

定数項にあたる $2y^2+3y+1$ を先に因数分解すると

掛けて $(y+1)(2y+1)$、足して $3y+2$ になる2つの式は、$(y+1) + (2y+1) = 3y+2$ よりまさに $y+1$ と $2y+1$ です。よって

「1つの文字について整理 → 定数項を因数分解 → たすき掛け」という流れは、2文字の因数分解の定石です。

まず $x$ の分母を有理化します。

すると $\dfrac{1}{x} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$(元の式そのもの)なので

次に、$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ という関係を使うと

$x^2$ を直接計算するより、対称式の関係 $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 - 2$ を使う方がずっと速く、テストでも頻出の手法です。

分母をはらうため、両辺に $3$ と $2$ の最小公倍数 $6$ を掛けます($6 > 0$ なので不等号の向きはそのまま)。

左辺と右辺をそれぞれ展開して

$x$ の項を右辺に、定数項を左辺に集めると

両辺を $5$ で割って $\dfrac{1}{5} \le x$、すなわち

分数を含む不等式は、最初に分母をはらってしまうのが鉄則です。

二重根号は $\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$($a>0$、$b>0$)の形に直して外します。

まず、根号の中の $4\sqrt{3}$ を $2\sqrt{\phantom{a}}$ の形にします。

よって $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$。ここで「足して $7$、掛けて $12$」になる2数を探すと、$4$ と $3$ が見つかります。

検算: $(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7+4\sqrt{3}$ ✓

ポイントは、外側の $\sqrt{\phantom{a}}$ の中を必ず「$\bigcirc + 2\sqrt{\triangle}$」の形($\sqrt{\phantom{a}}$ の係数を $2$)に整えてから、和と積で2数を探すことです。

絶対値の中身の符号が変わる $x = 2$ と $x = -1$ を境に、3つの場合に分けます。

【場合1】 $x < -1$ のとき
$x-2 < 0$、$x+1 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2)$、$|x+1| = -(x+1)$。

これを解くと $x = -2$。これは $x < -1$ を満たすので解です。

【場合2】 $-1 \le x < 2$ のとき
$x-2 < 0$、$x+1 \ge 0$ なので

これは成り立たないので、この範囲に解はありません。

【場合3】 $x \ge 2$ のとき
どちらの中身も $0$ 以上なので

これを解くと $x = 3$。これは $x \ge 2$ を満たすので解です。

以上より、$x = -2, \ 3$。

場合分けで出た解が「その場合の範囲に入っているか」を必ず確認するのが最重要ポイントです。範囲外の解は捨てます。

$4 < 5 < 9$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ なので、$\sqrt{5}$ の整数部分は

小数部分は「元の数 − 整数部分」なので

$b^2 + 4b$ を求めます。そのまま代入してもよいですが、$b^2 + 4b = (b+2)^2 - 4$ と変形すると、$b + 2 = \sqrt{5}$ が使えて計算が楽になります。

【そのまま計算する場合】
$$b^2 + 4b = (\sqrt{5}-2)^2 + 4(\sqrt{5}-2) = (5 - 4\sqrt{5} + 4) + (4\sqrt{5} - 8) = 1$$

どちらでも同じ答えになりますが、「$b+2 = \sqrt{5}$ の形を作る」という発想は他の問題でも役立ちます。無理数の整数部分は、隣り合う平方数($4$ と $9$)で挟んで求めるのが定石です。