図形と計量

三角比の定義

直角三角形は、1つの鋭角の大きさを決めると形が決まります(相似になる)。つまり、角度が同じなら辺の長さの「比」はいつも同じです。この比に名前をつけたものが三角比です。角度から辺の比が分かる、というのが三角比の最大のご利益で、直接測れない高さや距離を計算で求められるようになります。

三角比の定義(直角三角形)

$\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 $ABC$ で、 $\angle A = \theta$ とする。斜辺 $AB = c$ 、 $\theta$ の対辺 $BC = a$ 、隣辺 $CA = b$ とすると

$\sin\theta = \dfrac{a}{c}$ (対辺/斜辺)、 $\cos\theta = \dfrac{b}{c}$ (隣辺/斜辺)、 $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$ (対辺/隣辺)

「どの辺をどの辺で割るか」は、筆記体の s・c・t の書き順で覚えるのが定番です。

$30^\circ$ ・ $45^\circ$ ・ $60^\circ$ の三角比は、三角定規の2種類の直角三角形(辺の比 $1 : 2 : \sqrt{3}$ と $1 : 1 : \sqrt{2}$ )から求められます。テストでは瞬時に出せるように、必ず覚えましょう。

特別な角の三角比

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ 、 $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 、 $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 、 $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 、 $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$

$\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 、 $\tan 45^\circ = 1$ 、 $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

例題 1(測量への応用)

木の根もとから水平に $30$ m 離れた地点から木の先端を見上げると、仰角(水平方向から見上げた角)が $30^\circ$ であった。木の高さを求めよ。

解き方

木の高さを $h$ m とすると、水平距離 $30$ m と高さ $h$ が直角三角形の2辺になります。仰角 $30^\circ$ に対して、 $h$ は対辺、 $30$ m は隣辺なので $\tan$ の出番です。

\tan 30^\circ = \frac{h}{30}

よって

h = 30 \tan 30^\circ = 30 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}

木の高さは $10\sqrt{3}$ m(約 $17.3$ m)です。このように、角度と1辺の長さから、直接測れない長さを求めるのが三角比の代表的な使い方です。

三角比の拡張(0°から180°まで)

三角形の内角には $90^\circ$ より大きい角(鈍角)もあるので、三角比を $0^\circ$ から $180^\circ$ まで使えるように定義を拡張します。座標平面で、原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の半円を考え、 $x$ 軸の正の向きから角 $\theta$ だけ回った半円上の点を $P(x, \ y)$ とします。

三角比の拡張された定義

$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ 、 $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ 、 $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ ( $x \ne 0$ )

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲では $y \ge 0$ なので、 $\sin\theta$ は常に $0$ 以上。一方、 $\theta$ が鈍角のとき $x < 0$ なので、 $\cos\theta$ と $\tan\theta$ は負になります。

鈍角の三角比は、 $180^\circ - \theta$ の公式で鋭角の三角比に直せます。たとえば

\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}

のように、「 $\sin$ はそのまま、 $\cos$ と $\tan$ はマイナスがつく」と覚えましょう。

相互関係と変換公式

【相互関係】

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 、 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 、 $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$

【 $90^\circ - \theta$ の公式】

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$ 、 $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ 、 $\tan(90^\circ - \theta) = \dfrac{1}{\tan\theta}$

【 $180^\circ - \theta$ の公式】

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ 、 $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ 、 $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$

例題 2(相互関係)

$90^\circ < \theta < 180^\circ$ で $\tan\theta = -2$ のとき、 $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の値を求めよ。

解き方

$\tan$ から $\cos$ を求めるときは $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ を使います。

\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + (-2)^2 = 5

よって $\cos^2\theta = \dfrac{1}{5}$ 。 $\theta$ は鈍角で $\cos\theta < 0$ だから

\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}

次に $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より $\sin\theta = \tan\theta \cos\theta$ なので

\sin\theta = (-2) \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{2\sqrt{5}}{5}

拡張された三角比では「符号の確認」が命です。角の範囲から $\sin$ ・ $\cos$ の符号を先に決めてから計算しましょう。

正弦定理と余弦定理

ここからは直角三角形に限らず、一般の三角形の辺と角の関係を調べます。三角形 $ABC$ で、頂点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ の対辺の長さをそれぞれ $a$ 、 $b$ 、 $c$ と表すのが約束です。主役となる定理は2つ、正弦定理と余弦定理です。

正弦定理

三角形 $ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

「辺と、その対角の $\sin$ の比は一定で、外接円の直径に等しい」という定理です。2つの角と1辺が分かっているとき、外接円の半径がからむときに使います。

余弦定理

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos B, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

三平方の定理に補正項 $-2bc\cos A$ がついた形です。2辺とその間の角から残りの辺を求めるとき、3辺から角を求めるときに使います。角を求めるときは

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

の形が便利です。

例題 3(正弦定理)

三角形 $ABC$ において、 $A = 45^\circ$ 、 $B = 60^\circ$ 、 $a = \sqrt{2}$ のとき、 $b$ を求めよ。

解き方

2つの角と1辺が分かっているので正弦定理を使います。

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

に値を代入して

\frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}

$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 、 $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ だから

b = \frac{\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

例題 4(余弦定理)

三角形 $ABC$ において、 $a = 5$ 、 $b = 7$ 、 $c = 8$ のとき、 $B$ を求めよ。

解き方

3辺が分かっているので余弦定理で角を求めます。

\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} = \frac{64 + 25 - 49}{2 \times 8 \times 5} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}

$0^\circ < B < 180^\circ$ だから

B = 60^\circ

「求めたい角の対辺だけを引き算する」のがポイントです。分子の符号が正なら鋭角、負なら鈍角、と計算の途中で角の種類まで分かります。

どちらの定理を使うか迷ったら、「分かっている情報」で判断します。角の情報が多い(2角1辺、外接円)なら正弦定理、辺の情報が多い(2辺夾角、3辺)なら余弦定理、が目安です。

図形の計量(面積・内接円・空間図形)

三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求めますが、高さの代わりに角度が分かっているときは、 $\sin$ を使って高さを表すことができます。2辺 $b$ 、 $c$ とその間の角 $A$ が分かれば、高さは $c\sin A$ となるからです。

三角形の面積

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は

S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C

「2辺とその間の角の $\sin$ 」の積の半分です。

内接円の半径

三角形 $ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、面積 $S$ について

S = \frac{1}{2}r(a + b + c)

内接円の中心と各頂点を結んで三角形を3つに分けると、それぞれの高さが $r$ になることから導けます。面積と3辺が分かれば $r$ が求められます。

例題 5(面積)

三角形 $ABC$ において、 $b = 4$ 、 $c = 5$ 、 $A = 30^\circ$ のとき、面積 $S$ を求めよ。

解き方

2辺とその間の角が分かっているので、面積の公式が直接使えます。

S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 5

「間の角」であることの確認を忘れずに。間の角でない場合は、先に余弦定理などで情報を整理してから使います。

三角比は空間図形にも応用できます。コツは、空間のまま考えず、「直角三角形や、余弦定理が使える三角形を含む平面を取り出す」ことです。立体の高さは、頂点から底面に下ろした垂線を1辺とする直角三角形で捉えます。

例題 6(空間図形)

1辺の長さが $2$ の正四面体 $ABCD$ の高さ(頂点 $A$ から底面 $BCD$ に下ろした垂線の長さ)を求めよ。

解き方

頂点 $A$ から底面に下ろした垂線の足 $H$ は、正三角形 $BCD$ の外心(重心)に一致します。まず $BH$ の長さを求めます。正三角形 $BCD$ の外接円の半径が $BH$ なので、正弦定理より

BH = \frac{CD}{2\sin 60^\circ} = \frac{2}{2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}

直角三角形 $ABH$ で三平方の定理を使うと

AH^2 = AB^2 - BH^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

$AH > 0$ だから

AH = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}

「垂線の足がどこに来るか」を確定させてから、平面の三角形を取り出すのが空間図形の定石です。

§1三角比の定義

§2三角比の拡張(0°から180°まで)

§3正弦定理と余弦定理

§4図形の計量(面積・内接円・空間図形)

三角比の定義

三角比の拡張(0°から180°まで)

正弦定理と余弦定理

図形の計量(面積・内接円・空間図形)