微分と積分

関数 $f(x)$ の $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ は

$f'(a)$ は、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きを表します。

$n$ が正の整数、$c$ が定数のとき

$(x^n)' = nx^{n-1}$、 $(c)' = 0$

また、$k$ を定数として

$\{kf(x)\}' = kf'(x)$、 $\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)$

つまり、各項を別々に微分してよいということです。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式は

ある区間でつねに $f'(x) > 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で増加する。
ある区間でつねに $f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ はその区間で減少する。

$f'(x)$ の符号が $x = a$ の前後で正から負に変わるとき、$f(a)$ を極大値、
負から正に変わるとき、$f(a)$ を極小値といいます。

増減の様子は増減表にまとめて調べるのが基本です。

方程式 $f(x) = a$ の異なる実数解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数と一致します。

3次方程式なら、$y = f(x)$ のグラフを増減表から描き、水平な直線 $y = a$ を上下に動かしながら共有点の個数を数えます。極大値・極小値と $a$ の大小関係で場合分けするのがポイントです。

$n$ が $0$ 以上の整数のとき($C$ は積分定数)

また、$k$ を定数として

$\displaystyle\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$、 $\displaystyle\int \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

「次数を1つ上げて、新しい次数で割る」と覚えましょう。微分して元に戻るか検算できます。

$F'(x) = f(x)$ のとき

定積分の性質:

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$、 $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

定積分は $F(b) - F(a)$ という「値」なので、積分定数 $C$ は不要です($C$ は引き算で消えます)。

区間 $a \le x \le b$ でつねに $f(x) \ge g(x)$ のとき、2つの曲線 $y = f(x)$、$y = g(x)$ の間の部分の面積 $S$ は

「(上のグラフ)−(下のグラフ)」を積分する、と覚えます。どちらが上かはグラフの概形か、交点の間の適当な $x$ の値を代入して確認します。

$\alpha < \beta$ のとき

これを使うと、放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と直線が $x = \alpha, \ \beta$ で交わるとき、囲まれた部分の面積は

と一瞬で計算できます。例題 7 なら $a = 1$、$\beta - \alpha = 2 - (-1) = 3$ なので $S = \dfrac{1 \cdot 3^3}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$ と、同じ答えがすぐ出ます。検算にも便利なので必ず使えるようにしましょう。