練習問題

関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ について、次を求めよ。
(1) 導関数 $f'(x)$
(2) 微分係数 $f'(1)$

微分係数の定義にしたがって、$f(x) = x^2$ の $x = 3$ における微分係数 $f'(3)$ を求めよ。

曲線 $y = x^2 + 1$ 上の $x = 1$ の点における接線の方程式を求めよ。

不定積分 $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$ を求めよ。

定積分 $\displaystyle\int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx$ を求めよ。

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の極値を求めよ。

関数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$($-2 \le x \le 2$)の最大値と最小値を求めよ。

点 $(1, -3)$ から放物線 $y = x^2$ に引いた接線の方程式を求めよ。

$a$ を定数とするとき、3次方程式 $x^3 - 3x^2 + a = 0$ の異なる実数解の個数を調べよ。

定積分 $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - x + 1)\,dx$ を求めよ。

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2つの放物線 $y = x^2 - 2x$ と $y = -x^2 + 4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

次の等式を満たす関数 $f(x)$、および定数 $a$ を求めよ。
(1) $f(x) = 3x^2 - 2x + \displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt$
(2) $\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt = x^2 - 2x - 3$ を満たす $f(x)$ と $a$

$x \ge 0$ のとき、不等式 $x^3 + 4 \ge 3x^2$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。