複素数と方程式

$a$、$b$、$c$、$d$ が実数のとき、$a + bi = c + di$ が成り立つのは、$a = c$ かつ $b = d$ のとき、そのときに限ります。

特に、$a + bi = 0$ となるのは $a = 0$ かつ $b = 0$ のときだけです。「実部どうし、虚部どうしを比較する」のが複素数の等式の基本です。

複素数 $\alpha = a + bi$ に対して、虚部の符号を変えた $\bar{\alpha} = a - bi$ を共役複素数といいます。

共役どうしの積は必ず実数(しかも $0$ 以上)になります。この性質を使うと、分母に虚数がある式は、分母の共役複素数を分母分子に掛けて分母を実数化できます。

$a > 0$ のとき

と定めます。たとえば $\sqrt{-4} = 2i$ です。注意すべきは、根号の中が負のときは $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ が使えないことです。必ず先に $\sqrt{a}\,i$ の形に直してから計算します。

うっかり $\sqrt{(-2)\times(-3)} = \sqrt{6}$ とすると符号を間違えます。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると

$D > 0 \iff$ 異なる2つの実数解をもつ

$D = 0 \iff$ 重解(ただ1つの実数解)をもつ

$D < 0 \iff$ 異なる2つの虚数解をもつ

$D < 0$ のときの2つの虚数解は、互いに共役な複素数になります。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると

方程式を解かなくても、解の和と積は係数からすぐに分かります。$\alpha^2+\beta^2$ のような対称式は、和と積で表して計算するのが定石です。

整式 $P(x)$ を $x - k$ で割った余りは $P(k)$ に等しい。

より一般に、$P(x)$ を $ax + b$ で割った余りは $P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ である。

整式 $P(x)$ について、$P(k) = 0$ が成り立つことと、$P(x)$ が $x - k$ を因数にもつ($x-k$ で割り切れる)ことは同値です。

「余りが $0$」と「割り切れる」は同じことなので、剰余の定理からただちに導けます。因数定理は、3次以上の整式を因数分解するときの最強の道具です。

$x^3 = 1$ の解は、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0$ を解いて

の3つです。虚数の解の1つを $\omega$ とすると、もう1つは $\omega^2$ に等しく、3つの解は $1$、$\omega$、$\omega^2$ と表せます。$\omega$ は次の2つの式を満たします。

$\omega$ の高い累乗はこの2つの関係式だけで計算できます。$\omega^3 = 1$ を使って指数を $3$ で割った余りに落とすのがポイントです。