答えと解説

(1) 実部どうし、虚部どうしをまとめます。

(2) 分配法則で展開し、$i^2 = -1$ に置き換えます。

$i$ を文字と同じように展開して、最後に $i^2 = -1$ の処理を忘れないこと。$-2i^2 = +2$ の符号ミスが最も多いポイントです。

分母 $1-i$ の共役複素数 $1+i$ を分母分子に掛けて、分母を実数化します。

分子を展開すると

分母は $(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2$。よって

検算として、$(1-i)(-1+2i) = -1 + 2i + i - 2i^2 = 1 + 3i$ となり、元の分子に戻ることが確認できます。

根号の中が負のときは、必ず先に $\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i$($a>0$)の形に直してから計算します。

(1)

(2)

(1)で $\sqrt{(-8)\times(-2)} = \sqrt{16} = 4$ とするのは誤りです。$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ の公式は $a$、$b$ がともに正のときにしか使えません。「マイナスの根号を見たら、まず $i$ を外に出す」を徹底しましょう。

(1) 解の公式を使います。

(2) 判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号を調べます。

$3x^2 + 4x - 2 = 0$ について

よって異なる2つの実数解をもちます。

$2x^2 - 3x + 2 = 0$ について

よって異なる2つの虚数解をもちます。

(1)の検算は、$x = -1+2i$ を代入して $(-1+2i)^2 + 2(-1+2i) + 5 = (1 - 4i - 4) + (-2 + 4i) + 5 = 0$ と確認できます。

(1) 解と係数の関係より

(2) 対称式の変形 $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ を使って

(3) 通分してから、和と積で表します。

解と係数の関係の問題では、方程式を実際に解く必要はありません。「和と積さえ分かれば対称式はすべて計算できる」という発想が身についているかがカギです。

剰余の定理「$P(x)$ を $x - k$ で割った余りは $P(k)$」を使います。実際に筆算する必要はありません。

$x - 2$ で割った余りは

$x + 1$ で割った余りは、$x + 1 = x - (-1)$ なので $k = -1$ を代入して

$x + 1$ で割るときに $P(1)$ を計算してしまうのがよくあるミスです。「割る式 $= 0$ とおいたときの $x$ の値を代入する」と覚えておけば間違えません。

解と係数の関係より $\alpha + \beta = 3$、$\alpha\beta = 1$ です。すべての対称式をこの2つで表します。

(1)

(2) 3乗の対称式の公式 $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ を使って

(3) 通分すると分子に $\alpha^2 + \beta^2$ が現れます。

(2)は $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = 3 \times (7-1) = 18$ と計算しても同じ結果になり、検算に使えます。

因数定理より、$P(x)$ が $x - 1$ で割り切れる条件は $P(1) = 0$ です。

よって $a = -3$ で、$P(x) = x^3 - 3x + 2$ となります。

$x - 1$ で割り切れることが分かっているので、実際に割り算すると商は $x^2 + x - 2$ です。

さらに $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$ と因数分解できるので

検算として展開すると、$(x^2-2x+1)(x+2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2$ で一致します。2次式の因数分解まで進めて「これ以上分解できない形」まで仕上げるのを忘れないようにしましょう。

2次式 $(x-1)(x-2)$ で割った余りは1次以下の式なので、$ax + b$ とおけます。商を $Q(x)$ とすると

剰余の定理より $P(1) = 3$、$P(2) = 5$ です。上の式に $x = 1$、$x = 2$ を代入すると、$(x-1)(x-2)Q(x)$ の部分が $0$ になるので

2式を辺々引くと $a = 2$、これを $a + b = 3$ に戻して $b = 1$。よって余りは

「余りを $ax+b$ とおいて、剰余の定理で連立方程式を作る」のがこのタイプの定石です。余りの次数は割る式の次数より必ず低い、という原則から $ax+b$ という形が決まることを理解しておきましょう。

因数定理を使います。$P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5$ とおき、定数項 $5$ の約数 $\pm 1, \pm 5$ を順に代入すると

なので、$P(x)$ は $x + 1$ で割り切れます。割り算すると商は $x^2 - 4x + 5$ なので

$x + 1 = 0$ から $x = -1$。$x^2 - 4x + 5 = 0$ は解の公式で

よって $x = -1, \ 2 \pm i$。

3次方程式の解は複素数の範囲でちょうど3個です。実数解1個と共役な虚数解のペア、という組合せはとても典型的な形です。虚数解は $x = 2+i$ を2次式に代入して $(2+i)^2 - 4(2+i) + 5 = (3+4i) - (8+4i) + 5 = 0$ で検算できます。

$x^2 = t$ とおくと、$t$ の2次方程式になります(複2次式のおき換え)。

掛けて $-12$、足して $-1$ になる2数は $-4$ と $3$ なので

よって $t = 4$ または $t = -3$。$t = x^2$ に戻して、それぞれ解きます。

【場合1】 $x^2 = 4$ のとき

【場合2】 $x^2 = -3$ のとき

以上より $x = \pm 2, \ \pm\sqrt{3}\,i$。

数学Iまでは $x^2 = -3$ の時点で「解なし」でしたが、複素数の範囲では虚数解が得られます。4次方程式なので解が4個そろっていることも確認しましょう。

解の条件が与えられたときは、解を文字でおいて解と係数の関係に持ち込むのが定石です。2つの解を $\alpha$ と $2\alpha$ とおくと、解と係数の関係より

すなわち

第2式から $\alpha^2 = 9$、よって

【場合1】 $\alpha = 3$ のとき
$m = 3 \times 3 = 9$ で、2つの解は $3$ と $6$。

【場合2】 $\alpha = -3$ のとき
$m = 3 \times (-3) = -9$ で、2つの解は $-3$ と $-6$。

検算すると、$m = 9$ のとき $x^2 - 9x + 18 = (x-3)(x-6)$、$m = -9$ のとき $x^2 + 9x + 18 = (x+3)(x+6)$ となり、どちらも条件を満たします。$\alpha = \pm 3$ の両方を検討し忘れて答えを1組だけにしてしまうのが、この問題の最大の落とし穴です。

係数がすべて実数の方程式が虚数解 $1 + i$ をもつので、その共役複素数 $1 - i$ も解になります。

$1 + i$ と $1 - i$ を解にもつ2次式は、和が $2$、積が $(1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2$ なので

です。したがって左辺の3次式は $x^2 - 2x + 2$ で割り切れ、残りの因数は1次式なので

とおけます。右辺を展開すると

両辺の係数を比較して

第1式から $c = -1$。よって

このとき方程式は $(x^2 - 2x + 2)(x - 1) = 0$ となるので、他の解は $x = 1 - i$ と $x = 1$ です。

検算として $(x^2-2x+2)(x-1) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ を展開で確認すると、$a = -3$、$b = 4$ と一致します。$1+i$ を直接代入して実部・虚部を比較する方法でも解けますが、「共役解とセットで2次式を作る」方が計算がずっと軽くなります。

$\omega$ は $x^3 = 1$ の虚数解なので、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) = 0$ の $x^2+x+1 = 0$ の方の解です。したがって次の2つの関係式が成り立ちます。

(1) $\omega^3 = 1$ を使って、指数を $3$ で割った余りに落とします。$100 = 3 \times 33 + 1$、$50 = 3 \times 16 + 2$ なので

よって

(2) $\omega^3 = 1$ より $\dfrac{1}{\omega} = \dfrac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2$、$\dfrac{1}{\omega^2} = \dfrac{\omega}{\omega^3} = \omega$ なので

ここで $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より $\omega^2 + \omega = -1$。よって答えは $-1$ です。

$\omega$ の問題は「$\omega^3 = 1$ で指数を小さくする」「$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ で次数を下げる」の2つの操作だけで解けます。$\omega$ の具体的な値 $\dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ を代入して計算するのは遠回りなので避けましょう。