練習問題

次の計算をせよ。
(1) $(3+2i) + (1-4i)$
(2) $(2+i)(3-2i)$

$\dfrac{1+3i}{1-i}$ を $a+bi$ の形にせよ。

次の計算をせよ。
(1) $\sqrt{-8} \times \sqrt{-2}$
(2) $\dfrac{\sqrt{-12}}{\sqrt{3}}$

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ を解け。
(2) 2次方程式 $3x^2 + 4x - 2 = 0$ と $2x^2 - 3x + 2 = 0$ の解の種類(異なる2つの実数解・重解・異なる2つの虚数解)をそれぞれ判別せよ。

2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$
(2) $\alpha^2 + \beta^2$
(3) $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$

整式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ を $x - 2$ で割った余りと、$x + 1$ で割った余りを求めよ。

2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\alpha^2 + \beta^2$
(2) $\alpha^3 + \beta^3$
(3) $\dfrac{\beta}{\alpha} + \dfrac{\alpha}{\beta}$

整式 $P(x) = x^3 + ax + 2$ が $x - 1$ で割り切れるとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、そのときの $P(x)$ を因数分解せよ。

整式 $P(x)$ を $x - 1$ で割ると余りが $3$、$x - 2$ で割ると余りが $5$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

方程式 $x^3 - 3x^2 + x + 5 = 0$ を解け。

方程式 $x^4 - x^2 - 12 = 0$ を解け。

2次方程式 $x^2 - mx + 18 = 0$ の1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求めよ。

方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 2 = 0$ が $1 + i$ を解にもつとき、実数の定数 $a$、$b$ の値と他の解を求めよ。

1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とする。次の値を求めよ。
(1) $\omega^{100} + \omega^{50} + 1$
(2) $\dfrac{1}{\omega} + \dfrac{1}{\omega^2}$