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数学II 第4章

三角関数

一般角と弧度法、加法定理、三角関数のグラフと方程式・不等式を学びます。

練習問題を解く(14問)答えと解説

一般角と弧度法、三角関数の定義

数学Iの三角比では、角は 0∘0^\circ から 180∘180^\circ までに限られていました。ここでは、回転の向きと回転量で角を考えます。半直線(動径)が反時計回りに回った角を正、時計回りに回った角を負とし、1回転(360∘360^\circ)を超える角も許します。このように拡張した角を一般角といいます。たとえば 390∘390^\circ は「1回転してさらに 30∘30^\circ」を表し、動径の位置は 30∘30^\circ と同じです。

高校数学では、角の新しい単位として弧度法(ラジアン)を使います。半径 11 の円で、長さ 11 の弧に対する中心角を 11 ラジアンと定めます。半径 11 の円周は 2π2\pi なので、1回転は 2π2\pi ラジアンです。

度とラジアンの変換

180∘=π rad180^\circ = \pi \text{ rad}

したがって 1∘=π1801^\circ = \dfrac{\pi}{180} rad。よく使う角は
30∘=π630^\circ = \dfrac{\pi}{6}、 45∘=π445^\circ = \dfrac{\pi}{4}、 60∘=π360^\circ = \dfrac{\pi}{3}、 90∘=π290^\circ = \dfrac{\pi}{2}、 180∘=π180^\circ = \pi、 360∘=2π360^\circ = 2\pi

また、半径 rr、中心角 θ\theta(ラジアン)の扇形の弧の長さは l=rθl = r\theta、面積は S=12r2θS = \dfrac{1}{2}r^2\theta です。

一般角に対する三角関数は、単位円(原点中心、半径 11 の円)を使って定義します。角 θ\theta の動径と単位円の交点を P(x,y)\mathrm{P}(x, y) とするとき、sin⁡θ=y\sin\theta = y、cos⁡θ=x\cos\theta = x、tan⁡θ=yx\tan\theta = \dfrac{y}{x} と定めます。つまり「cos⁡\cos は xx 座標、sin⁡\sin は yy 座標」です。この定義なら、θ\theta がどんな角でも(負の角でも 2π2\pi を超えても)値が決まります。

三角関数の相互関係

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

1つ目は、点 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) が単位円上にあること(x2+y2=1x^2+y^2=1)そのものです。

例題 1(単位円で値を求める)

sin⁡7π6\sin\dfrac{7\pi}{6}、cos⁡4π3\cos\dfrac{4\pi}{3} の値を求めよ。

解き方

7π6=π+π6\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} なので、動径は第3象限にあり、π6\dfrac{\pi}{6} の動径と原点対称です。yy 座標は sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} の符号を変えたものなので

sin⁡7π6=−12\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}

4π3=π+π3\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} も第3象限の角で、xx 座標は cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} の符号を変えたものなので

cos⁡4π3=−12\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}

「π\pi を基準にどれだけずれた角か」を考えて単位円をかくと、符号を間違えません。

例題 2(相互関係)

θ\theta が第4象限の角で cos⁡θ=35\cos\theta = \dfrac{3}{5} のとき、sin⁡θ\sin\theta と tan⁡θ\tan\theta の値を求めよ。

解き方

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 より

sin⁡2θ=1−(35)2=1−925=1625\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

第4象限では yy 座標は負、すなわち sin⁡θ<0\sin\theta < 0 なので

sin⁡θ=−45\sin\theta = -\frac{4}{5}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=(−45)÷35=−43\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \left(-\frac{4}{5}\right) \div \frac{3}{5} = -\frac{4}{3}

象限から符号を決める、という手順を必ず踏みましょう。

三角関数のグラフと性質

y=sin⁡θy = \sin\theta のグラフは、単位円上の点の yy 座標の変化を横軸 θ\theta に対してかいたもので、なめらかな波(サインカーブ)になります。y=cos⁡θy = \cos\theta のグラフは y=sin⁡θy = \sin\theta のグラフを θ\theta 軸方向に −π2-\dfrac{\pi}{2} だけ平行移動した同じ形の波です。どちらも値域は −1≤y≤1-1 \le y \le 1 で、2π2\pi ごとに同じ形を繰り返します。

一般に、00 でない定数 pp に対して f(θ+p)=f(θ)f(\theta + p) = f(\theta) がすべての θ\theta で成り立つとき、f(θ)f(\theta) は周期 pp の周期関数といいます(ふつう正で最小の pp を周期と呼びます)。sin⁡θ\sin\theta、cos⁡θ\cos\theta の周期は 2π2\pi、tan⁡θ\tan\theta の周期は π\pi です。また、y=tan⁡θy = \tan\theta のグラフは θ=π2+nπ\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi(nn は整数)を漸近線とする、切れ目のある曲線になります。

三角関数の性質

sin⁡(θ+2π)=sin⁡θ\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta、 cos⁡(θ+2π)=cos⁡θ\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta(周期性)

sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta、 cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta、 tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan(-\theta) = -\tan\theta

sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta、 cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta

sin⁡(θ+π2)=cos⁡θ\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\theta、 cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θ\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta

暗記に頼らず、単位円上で点がどう移るかを図でイメージして導けるようにしましょう。

グラフの拡大・縮小と周期

a>0a > 0、k>0k > 0 とする。

y=asin⁡θy = a\sin\theta … 振幅が aa(値域は −a≤y≤a-a \le y \le a)、周期は 2π2\pi

y=sin⁡kθy = \sin k\theta … 周期は 2πk\dfrac{2\pi}{k}(θ\theta 軸方向に 1k\dfrac{1}{k} 倍に縮む)

y=sin⁡(θ−α)y = \sin(\theta - \alpha) … y=sin⁡θy = \sin\theta を θ\theta 軸方向に α\alpha だけ平行移動したグラフ

例題 3(グラフの読み取り)

関数 y=2sin⁡(2θ−π3)y = 2\sin\left(2\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) の振幅と周期を求めよ。また、このグラフは y=2sin⁡2θy = 2\sin 2\theta のグラフをどのように平行移動したものか。

解き方

振幅は sin⁡\sin の前の係数で 22、周期は 2π2=π\dfrac{2\pi}{2} = \pi です。

平行移動を調べるには、θ\theta の係数でくくって

y=2sin⁡(2θ−π3)=2sin⁡2(θ−π6)y = 2\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin 2\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)

と変形します。よって y=2sin⁡2θy = 2\sin 2\theta のグラフを θ\theta 軸方向に π6\dfrac{\pi}{6} だけ平行移動したグラフです。

移動量を π3\dfrac{\pi}{3} と答えてしまうのが典型的なミスです。必ず「θ\theta の係数でくくる」変形をしてから読み取りましょう。

加法定理と2倍角・半角の公式

sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta) は sin⁡α+sin⁡β\sin\alpha + \sin\beta とは一致しません。2つの角の和・差の三角関数を正しく計算する公式が加法定理で、この章でいちばん重要な公式です。以後のすべての公式は加法定理から導かれます。

加法定理

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

(複号同順。cos⁡\cos は符号が逆になること、tan⁡\tan の分母の符号に注意)

例題 4(加法定理で値を求める)

加法定理を用いて cos⁡75∘\cos 75^\circ の値を求めよ。

解き方

75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ と分けて、cos⁡\cos の加法定理を使います。

cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ
=22⋅32−22⋅12=64−24=6−24= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

75∘75^\circ や 15∘15^\circ のように、30∘30^\circ、45∘45^\circ、60∘60^\circ の和・差で表せる角は加法定理で値が求められます。

加法定理で β=α\beta = \alpha とおくと、2倍角の公式が得られます。たとえば sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α\sin(\alpha+\alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha です。

2倍角の公式・半角の公式

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1

cos⁡2α\cos 2\alpha の後ろ2つの形を sin⁡2α\sin^2\alpha、cos⁡2α\cos^2\alpha について解くと、半角の公式が得られます。

sin⁡2α2=1−cos⁡α2,cos⁡2α2=1+cos⁡α2\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}, \quad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}

例題 5(半角の公式)

sin⁡π8\sin\dfrac{\pi}{8} の値を求めよ。

解き方

π8\dfrac{\pi}{8} は π4\dfrac{\pi}{4} の半分なので、半角の公式で α=π4\alpha = \dfrac{\pi}{4} とします。

sin⁡2π8=1−cos⁡π42=1−222=2−24\sin^2\frac{\pi}{8} = \frac{1-\cos\dfrac{\pi}{4}}{2} = \frac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}

π8\dfrac{\pi}{8} は第1象限の角なので sin⁡π8>0\sin\dfrac{\pi}{8} > 0。よって

sin⁡π8=2−24=2−22\sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

半角の公式は「2乗の値」が出る公式です。最後に平方根をとるとき、角の象限から符号を決めるのを忘れないようにしましょう。

三角関数の合成と方程式・不等式

asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta + b\cos\theta のように sin⁡\sin と cos⁡\cos が混ざった式は、加法定理を逆向きに使うと1つの sin⁡\sin にまとめられます。これを三角関数の合成といい、最大値・最小値や方程式を扱うときの強力な武器になります。

三角関数の合成

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2 sin⁡(θ+α)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta + \alpha)

ただし α\alpha は cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}、sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} を満たす角。

座標平面に点 (a,b)(a, b) をとると、a2+b2\sqrt{a^2+b^2} は原点からの距離、α\alpha はその点の動径の角です。

例題 6(合成)

sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta を rsin⁡(θ+α)r\sin(\theta+\alpha) の形に合成せよ。

解き方

a=1a = 1、b=−1b = -1 なので r=12+(−1)2=2r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}。

点 (1,−1)(1, -1) の動径の角は −π4-\dfrac{\pi}{4} です(cos⁡α=12\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}、sin⁡α=−12\sin\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{2}})。よって

sin⁡θ−cos⁡θ=2sin⁡(θ−π4)\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)

検算として、右辺を加法定理で展開すると 2(sin⁡θcos⁡π4−cos⁡θsin⁡π4)=sin⁡θ−cos⁡θ\sqrt{2}\left(\sin\theta\cos\dfrac{\pi}{4} - \cos\theta\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\theta - \cos\theta に戻ります。

三角方程式・不等式は、単位円をかいて解くのが基本です。sin⁡θ=k\sin\theta = k なら「yy 座標が kk になる単位円上の点」、cos⁡θ=k\cos\theta = k なら「xx 座標が kk になる点」を探し、対応する角を範囲内ですべて挙げます。不等式なら、条件を満たす円周上の部分に対応する角の範囲を答えます。

例題 7(三角不等式)

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、不等式 sin⁡θ>32\sin\theta > \dfrac{\sqrt{3}}{2} を解け。

解き方

単位円上で yy 座標が 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} より大きい部分を考えます。

まず sin⁡θ=32\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} となるのは θ=π3, 2π3\theta = \dfrac{\pi}{3}, \ \dfrac{2\pi}{3} です。

yy 座標が 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} を超えるのは、円周上でこの2点の間の上側の弧なので

π3<θ<2π3\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}

不等式は必ず単位円(またはグラフ)の図をかいて、どちら側の弧かを目で確認しましょう。

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