答えと解説

変換の基準は $180^\circ = \pi$ です。度からラジアンへは $\dfrac{\pi}{180}$ を掛けます。

(1)

(2) ラジアンから度へは $\pi = 180^\circ$ を代入します。

分数の約分を落ち着いて行えば確実に得点できます。$\pi = 180^\circ$、$\dfrac{\pi}{2} = 90^\circ$ など代表的な角はそのまま覚えてしまいましょう。

単位円をかき、動径がどの象限にあるかを確認して符号を決めます。

(1) $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ は第3象限の角。$\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ より

(2) $\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}$ は第4象限の角。$\cos(-\theta) = \cos\theta$ と周期性より

(3) $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$ は第3象限の角。$\tan$ の周期は $\pi$ なので

第3象限では $\sin$、$\cos$ がともに負なので、その比である $\tan$ は正になります。象限ごとの符号($x$ 座標と $y$ 座標の正負)を単位円で確認する習慣をつけましょう。

相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使います。

$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$(第2象限)では $\cos\theta < 0$ なので

次に $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より

最後の変形は分母の有理化($\sqrt{2}$ を分母分子に掛ける)です。平方根をとるときに象限から符号を決めるのが最大のポイントで、ここを機械的に正にしてしまうミスが非常に多いです。

$y = a\sin k\theta$($a>0$、$k>0$)の振幅は $a$、周期は $\dfrac{2\pi}{k}$ です($\cos$ も同じ)。

(1) $a = 3$、$k = 2$ なので、振幅は $3$、周期は

(2) $a = 1$、$k = \dfrac{1}{2}$ なので、振幅は $1$、周期は

$\theta$ の係数が大きいほど波は細かく(周期は短く)、係数が $1$ より小さいと波はゆったり(周期は長く)なります。「$k$ 倍すると周期は $\dfrac{1}{k}$ 倍」と覚えましょう。

単位円上で $y$ 座標が $\dfrac{1}{2}$ になる点を探します。

直線 $y = \dfrac{1}{2}$ と単位円の交点は2つあり、対応する角は、第1象限の

と、それと $y$ 軸に関して対称な第2象限の

です。よって $\theta = \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6}$。

$\sin\theta = k$ の解は原則2つ(範囲が1周分のとき)です。1つ見つけて安心せず、単位円の図で「もう1つの対称な点」を必ず確認しましょう。

(1) $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ と分けて、$\sin$ の加法定理を使います。

(2) $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ と分けて、$\tan$ の加法定理を使います。

分母を有理化するため、分母分子に $1+\sqrt{3}$ を掛けます。

$105^\circ$ は第2象限の角なので $\tan 105^\circ < 0$ となるはずです。答えの符号がこれと合っているか確認すると検算になります。

加法定理を使うには、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ も必要です。まず相互関係で求めます。

$\alpha$ は鋭角なので $\cos\alpha > 0$ であり

$\beta$ も鋭角なので $\sin\beta > 0$ であり

$\sin$ の加法定理より

$\cos$ の加法定理より

検算として $\sin^2(\alpha+\beta) + \cos^2(\alpha+\beta) = \dfrac{3969+256}{4225} = \dfrac{4225}{4225} = 1$ が成り立つことが確認できます。$\cos(\alpha+\beta) < 0$ は、$\alpha+\beta$ が $\dfrac{\pi}{2}$ を超えた(鈍角になった)ことを意味しています。

2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を使うため、まず $\cos\theta$ を求めます。

第2象限では $\cos\theta < 0$ なので

よって

$\cos 2\theta$ は、$\sin\theta$ の値だけで計算できる形 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を使うと速いです。

検算: $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \cdot \dfrac{5}{9} - 1 = \dfrac{1}{9}$ で一致します。$\cos 2\theta$ の3つの表し方のうち、与えられた値に合わせてどれを使うかを選べると計算が速くなります。

$\cos 2\theta$ と $\sin\theta$ が混ざっているので、2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ で $\sin\theta$ だけの式に統一します。

両辺に $-1$ を掛けて

$\sin\theta = t$ とおくと $2t^2 - 3t + 1 = 0$。たすき掛けで因数分解して

よって $t = \dfrac{1}{2}$ または $t = 1$、すなわち $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ または $\sin\theta = 1$。

【$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき】 $0 \le \theta < 2\pi$ では

【$\sin\theta = 1$ のとき】

以上より、$\theta = \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{\pi}{2}, \ \dfrac{5\pi}{6}$。

「$\cos 2\theta$ と $\sin\theta$ の混在 → $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ で $\sin\theta$ に統一 → 2次方程式」は定期テスト最頻出の流れです。おき換えた $t$ には $-1 \le t \le 1$ の制限があることも意識しましょう。

単位円上で $x$ 座標が $-\dfrac{1}{2}$ 以下になる部分を考えます。

まず等号が成り立つ角、すなわち $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ となる角を求めると

単位円で、直線 $x = -\dfrac{1}{2}$ より左側にある弧は、この2点を端とする左側(第2象限から第3象限にかけて)の弧です。対応する角の範囲は

不等号に等号が含まれるので、両端の角も含めます。検算として範囲の中央 $\theta = \pi$ を代入すると $\cos\pi = -1 \le -\dfrac{1}{2}$ で確かに成り立ちます。範囲外の $\theta = 0$ では $\cos 0 = 1$ で成り立たないことも確認できます。

$\sin$ と $\cos$ の1次式なので、三角関数の合成を使います。$a = 1$、$b = \sqrt{3}$ より

$\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$、$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす角は $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ なので

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき $\dfrac{\pi}{3} \le \theta + \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{7\pi}{3}$ であり、この範囲で $\sin$ は $1$ から $-1$ までのすべての値をとります。

【最大値】 $\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) = 1$、すなわち $\theta + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$ のとき。

このとき最大値 $y = 2$。

【最小値】 $\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) = -1$、すなわち $\theta + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{2}$ のとき。

このとき最小値 $y = -2$。

合成後は「$\theta + \dfrac{\pi}{3}$ の動く範囲」を必ず書き出すこと。範囲が1周分ない問題では、端点で最大・最小になることがあるからです。

左辺を合成して1つの $\sin$ にまとめます。$a = \sqrt{3}$、$b = -1$ より

$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\alpha = -\dfrac{1}{2}$ を満たす角は $\alpha = -\dfrac{\pi}{6}$ なので

方程式は

となるので、両辺を $2$ で割って

ここで $t = \theta - \dfrac{\pi}{6}$ とおくと、$0 \le \theta < 2\pi$ より $t$ の範囲は

この範囲で $\sin t = \dfrac{1}{2}$ となるのは

$\theta = t + \dfrac{\pi}{6}$ に戻して

検算: $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき $\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$ ✓、$\theta = \pi$ のとき $\sqrt{3} \cdot 0 - (-1) = 1$ ✓。

合成型の方程式では、おき換えた角の範囲を元の範囲からずらして書き直すのが最重要ポイントです。範囲を書かずに解くと、解の見落としや余分な解が出ます。

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ で $\sin\theta$ に統一します。

$\sin\theta = t$ とおきます。$0 \le \theta < 2\pi$ のとき $t$ のとりうる値の範囲は

$y$ を $t$ の2次関数とみて平方完成します。

上に凸の放物線で、軸 $t = \dfrac{1}{2}$ は範囲 $-1 \le t \le 1$ に含まれます。

【最大値】 $t = \dfrac{1}{2}$ のとき $y = \dfrac{3}{2}$。$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ となるのは

【最小値】 軸から遠い端 $t = -1$ のとき

$\sin\theta = -1$ となるのは

以上より、最大値 $\dfrac{3}{2}$($\theta = \dfrac{\pi}{6}, \ \dfrac{5\pi}{6}$)、最小値 $-3$($\theta = \dfrac{3\pi}{2}$)。

「三角関数の最大最小 → おき換えて2次関数」は入試でも超頻出です。おき換えたら必ず $t$ の範囲($-1 \le t \le 1$)を書き、最後に $t$ の値を $\theta$ に戻すことを忘れないようにしましょう。

(1) 与式の両辺を2乗すると $\sin\theta\cos\theta$ が現れます。

左辺は $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ なので

これを整理して

2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ より

(2) $(\sin\theta - \cos\theta)^2$ を計算すると

よって $\sin\theta - \cos\theta = \pm\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ ですが、符号を範囲から決めます。

$\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8} < 0$ なので $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は異符号です。$0 \le \theta < \pi$ では $\sin\theta \ge 0$ なので、$\sin\theta > 0$、$\cos\theta < 0$ と決まります。したがって $\sin\theta - \cos\theta$ は(正)−(負)で正となり

「$\sin\theta + \cos\theta$ の値が与えられたら、まず2乗して $\sin\theta\cos\theta$ を作る」が定石です。(2)のように2乗から値を求めるときは、必ず角の範囲や符号の情報から $\pm$ のどちらかを決める議論を添えましょう。