答えと解説

(1) $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式で、$a = x$、$b = 2$ とします。

(2) $27 = 3^3$ なので、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式で、$a = x$、$b = 3$ とします。

3乗の公式では「$3a^2b$ の $3$ を忘れる」「$a^2+ab+b^2$ の真ん中の符号を間違える」の2つがミスの定番です。$a^3-b^3$ のときは後ろの2次式の真ん中が $+ab$ になります。展開して元に戻るか検算しましょう。

二項定理を使います。$(x+3)^5$ の展開式の一般項は

$x^2$ の項になるのは $5 - r = 2$、すなわち $r = 3$ のときです。よって $x^2$ の係数は

一般項を書いたら、「$x$ の指数 $=$ 求めたい次数」という方程式から $r$ を決める、という手順を毎回同じように踏めば確実です。$\,{}_5 \mathrm{C}_3 = {}_5 \mathrm{C}_2 = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ です。

筆算で割り進めます。

まず、最高次どうしの割り算 $x^3 \div x^2 = x$ より、商の最初の項は $x$。

次に $x^2 \div x^2 = 1$ より、商の次の項は $1$。

余り $-4x + 6$ は1次で、割る式(2次)より次数が低いので、ここで割り算は終了です。

商 $x + 1$、余り $-4x + 6$

検算は $A = BQ + R$ で行います。

元の式に一致するので正しいと確認できます。

係数比較法で解きます。右辺を展開して整理すると

これが $x^2 + 3x + 4$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較して

第1式から $a = 1$。これを第2式に代入して $-2 + b = 3$ より $b = 5$。第3式に代入して $1 - 5 + c = 4$ より $c = 8$。

【数値代入法での別解】$x = 1$ を代入すると、右辺は $c$ だけが残り、$1 + 3 + 4 = c$ より $c = 8$ が一発で出ます。さらに $x = 0$、$x = 2$ を代入して連立してもかまいません。

「カッコの中を $0$ にする値を代入する」と計算が速くなります。求めた値を右辺に戻して展開し、左辺に一致することを確かめれば完璧です。

条件付き等式の証明です。条件 $a + b = 1$ を使って左辺から右辺を導きます。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ という恒等式(対称式の変形)を使うと

よって等式は証明されました。

【別解:文字消去】条件から $b = 1 - a$ として左辺・右辺に代入します。

左辺:
$$a^2 + (1-a)^2 = a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2a^2 - 2a + 1$$

右辺:
$$1 - 2a(1-a) = 1 - 2a + 2a^2 = 2a^2 - 2a + 1$$

両辺が同じ式になるので、等式が成り立ちます。

条件付き等式では「条件を使って文字を1つ消す」か「条件の式がそのまま使える形に変形する」のどちらかです。この問題では $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の関係に気づくと計算が最短になります。

分母・分子をすべて因数分解してから約分します。

よって

$x-3$ と $x+1$ が約分できて

分数式の乗法は「展開してから」ではなく「因数分解してから」が鉄則です。展開してしまうと約分できる共通因数が見えなくなります。

分母の最小公倍数 $x(x+1)(x+2)$ で通分します。

分子をまとめて

$x+1$ が約分できて

【別解:部分分数分解】$\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$、$\dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2}$ と分解すると、$\dfrac{1}{x+1}$ が打ち消し合って

通分した後、分子を因数分解して約分できないか必ず確認しましょう。約分し忘れは減点対象です。

両辺に $(x-1)(x+2)$ を掛けて分母をはらうと

これが $x$ についての恒等式になればよいので、数値代入法を使います。

$x = 1$ を代入すると($b$ の項が消える)

よって $a = 2$。

$x = -2$ を代入すると($a$ の項が消える)

よって $b = -1$。

逆にこのとき、右辺は $2(x+2) - (x-1) = 2x + 4 - x + 1 = x + 5$ となり、確かに左辺と一致するので恒等式です。

【係数比較法での確認】右辺 $= (a+b)x + (2a-b)$ なので、$a + b = 1$、$2a - b = 5$。2式を足すと $3a = 6$ で $a = 2$、$b = -1$。同じ答えになります。

この「部分分数分解」は数学IIIの積分や数列の和でも使う重要技法です。分母の因数が $0$ になる値を代入すると、文字が1つずつ消えて速く解けます。

二項定理の一般項を書きます。

$x^3$ の項になるのは $12 - 3r = 3$、すなわち $r = 3$ のときです。よって係数は

分母に $x$ がある式では、指数法則 $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ を使って指数を1つの式にまとめるのがポイントです。また $(-2)^r$ の符号を含めて計算すること。マイナスを忘れるミスが非常に多い問題です。

比例式の証明は「$=k$ とおく」のが定石です。

とおくと

と表せます。これを左辺に代入すると

($b + d \ne 0$ なので約分できます。)

一方、右辺は $\dfrac{a}{b} = k$。

よって左辺 $=$ 右辺となり、等式は証明されました。

比例式が条件に出てきたら、反射的に「$=k$ とおいて、分子を $a = bk$ の形で表す」と覚えておきましょう。分数のまま変形しようとするより、圧倒的に見通しがよくなります。

不等式の証明の基本方針「左辺 $-$ 右辺 $\ge 0$ を示す」に従います。

$x$ の部分と $y$ の部分をそれぞれ平方完成します。

実数の2乗は $0$ 以上なので

よって $x^2 + y^2 \ge 2(x+y-1)$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは $(x-1)^2 = 0$ かつ $(y-1)^2 = 0$、すなわち $x = 1$ かつ $y = 1$ のときです。

「2乗の和」の形に持ち込めれば勝ち、というのが不等式証明の第一の型です。等号成立条件は「すべての2乗が同時に $0$」であることに注意しましょう(どれか1つだけでは等号になりません)。

相加平均・相乗平均の関係を使いますが、そのまま $x$ と $\dfrac{9}{x+2}$ に適用しても、積 $\dfrac{9x}{x+2}$ が定数にならず失敗します。掛けたときに文字が消えるよう、式の形を整えるのがポイントです。

と変形します($+2$ した分を $-2$ で調整)。$x > 0$ より $x + 2 > 0$、また $\dfrac{9}{x+2} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の関係が使えて

よって

等号が成り立つのは $x + 2 = \dfrac{9}{x+2}$、すなわち $(x+2)^2 = 9$ のとき。$x + 2 > 0$ より $x + 2 = 3$、つまり $x = 1$ のときです。これは $x > 0$ を満たします。

したがって、最小値は $4$($x = 1$ のとき)。

相加・相乗平均で最小値を求めるときは、(1) 積が定数になるように式を整える、(2) 等号が実際に成立する $x$ が存在することを確認する、の2点が必須です。等号が成立しないのに「最小値」と答えるのは典型的な誤りです。

根号を含む不等式は、そのままでは比較しにくいので「2乗の比較」を使います。

$A > 0$、$B > 0$ のとき、$A^2 > B^2 \iff A > B$ が成り立ちます。$a > 0$、$b > 0$ より、$\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$ かつ $\sqrt{a+b} > 0$ なので、両辺の2乗の差を調べれば十分です。

$a > 0$、$b > 0$ より $\sqrt{ab} > 0$ なので

よって

両辺とも正なので

が成り立ちます。

この証明で最も大事なのは「両辺が正であることを先に確認する」ことです。2乗して大小を比べてよいのは両辺が $0$ 以上のときだけ($-3 < 2$ だが $(-3)^2 > 2^2$)。答案では必ずこの一言を書きましょう。

$101 = 1 + 100$ と見て、二項定理で展開します。

各項を確認します。

よって

ここで、$r \ge 2$ の項に含まれる $100^r$ は

と書けるので、すべて $10000$ の倍数です。したがって

カッコの中は整数なので、$101^{100} - 1$ は $10000$ で割り切れます。

「大きな数の累乗の余り・割り切れる問題」は、$(1 + \bigcirc)^n$ の形を作って二項定理で展開するのが定石です。$\bigcirc$ の2乗以上の項は割る数の倍数としてまとめて処理できるので、実質的に最初の2〜3項だけを調べればよいことになります。