練習問題

次の計算をせよ。
(1) $(x+2)^3$ を展開せよ。
(2) $x^3 - 27$ を因数分解せよ。

$(x+3)^5$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

整式 $x^3 + 2x^2 - 4x + 5$ を $x^2 + x - 1$ で割ったときの商と余りを求めよ。

等式 $x^2 + 3x + 4 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$、$b$、$c$ の値を定めよ。

$a + b = 1$ のとき、等式 $a^2 + b^2 = 1 - 2ab$ が成り立つことを証明せよ。

$\dfrac{x^2-x-6}{x^2-1} \times \dfrac{x^2+3x+2}{x^2-4x+3}$ を計算せよ。

$\dfrac{1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$ を計算せよ。

等式 $\dfrac{x+5}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+2}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$、$b$ の値を定めよ。

$\left(x^2 - \dfrac{2}{x}\right)^6$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ のとき、等式 $\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a}{b}$ が成り立つことを証明せよ。ただし $b + d \ne 0$ とする。

不等式 $x^2 + y^2 \ge 2(x + y - 1)$ を証明せよ。また、等号が成り立つのはどんなときか。

$x > 0$ のとき、$x + \dfrac{9}{x+2}$ の最小値を求めよ。

$a > 0$、$b > 0$ のとき、不等式 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ を証明せよ。

二項定理を用いて、$101^{100} - 1$ が $10000$ で割り切れることを証明せよ。