指数関数・対数関数

指数の拡張と累乗根

中学までの指数 $a^n$ は「 $a$ を $n$ 回掛ける」という意味で、 $n$ は正の整数に限られていました。数学IIでは、指数法則が成り立ち続けるように、指数を $0$ ・負の整数・有理数(分数)へと広げていきます。「意味を先に決める」のではなく、「法則が壊れないように意味を決める」という発想がポイントです。

0と負の整数の指数

$a \ne 0$ で、 $n$ が正の整数のとき

$a^0 = 1$ 、 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

たとえば $2^0 = 1$ 、 $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$ です。こう定めると、指数法則 $a^r \times a^s = a^{r+s}$ が $2^3 \times 2^{-3} = 2^0 = 1$ のように、すべての整数で成り立ちます。

指数法則

$a > 0$ 、 $b > 0$ で、 $r$ 、 $s$ が有理数のとき

$a^r \times a^s = a^{r+s}$

$(a^r)^s = a^{rs}$

$(ab)^r = a^r b^r$

$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$

次に分数の指数です。その準備として累乗根を定義します。 $n$ 乗すると $a$ になる数を $a$ の $n$ 乗根といい、 $a > 0$ のとき正の $n$ 乗根はただ1つで、これを $\sqrt[n]{a}$ と書きます。たとえば $\sqrt[3]{8} = 2$ ( $2^3 = 8$ だから)です。

これを使って、 $a > 0$ のとき

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

と定めます。特に $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ です。こう定めると $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{n}{n}} = a$ となり、指数法則 $(a^r)^s = a^{rs}$ と矛盾しません。

例題 1(有理数の指数)

次の値を求めよ。
(1) $16^{\frac{3}{4}}$
(2) $\sqrt[3]{a} \times \sqrt[6]{a}$ ( $a > 0$ )

解き方

(1) $16 = 2^4$ なので、指数法則 $(a^r)^s = a^{rs}$ を使って

16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8

(2) 累乗根はすべて分数の指数に直してから、指数法則で足し算します。

\sqrt[3]{a} \times \sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

累乗根の計算は「分数の指数に直す → 指数法則で計算 → 必要なら根号に戻す」が定石です。

指数関数のグラフと方程式・不等式

$a > 0$ 、 $a \ne 1$ のとき、 $y = a^x$ を $a$ を底とする指数関数といいます。指数を実数まで広げたことで、 $x$ にどんな実数を入れてもよい「なめらかな曲線」のグラフが描けます。

指数関数 $y = a^x$ の性質

1. 定義域はすべての実数、値域は $y > 0$ (グラフは必ず $x$ 軸より上)
2. グラフは必ず点 $(0, 1)$ を通り、 $x$ 軸が漸近線
3. $a > 1$ のとき増加関数: $p < q \iff a^p < a^q$
4. $0 < a < 1$ のとき減少関数: $p < q \iff a^p > a^q$ (大小が逆転!)

この「増加か減少か」が、指数の方程式・不等式を解く鍵です。方程式は底をそろえて指数を比較し、不等式は底をそろえたうえで、底が $1$ より大きいか小さいかで不等号の向きを決めます。

例題 2(指数方程式・不等式)

次の方程式・不等式を解け。
(1) $8^x = 4^{x+1}$
(2) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \ge 9$

解き方

(1) 底を $2$ にそろえます。 $8 = 2^3$ 、 $4 = 2^2$ なので

2^{3x} = 2^{2(x+1)}

$y = 2^x$ は増加関数だから、指数どうしが等しく

3x = 2x + 2 \quad したがって \quad x = 2

(2) 底を $3$ にそろえます。 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ 、 $9 = 3^2$ なので

3^{-x} \ge 3^2

底 $3$ は $1$ より大きいので、不等号の向きはそのまま指数に移せて

-x \ge 2 \quad したがって \quad x \le -2

(2) は $\dfrac{1}{3}$ を底のままにして解くこともできますが、その場合は底が $1$ より小さいので不等号の向きが逆になります。どちらの解き方でも、必ず「底と $1$ の大小」を確認してから指数を比較しましょう。

$4^x$ と $2^x$ が混ざった式では、 $2^x = t$ とおくと $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ となり、 $t$ の2次方程式・2次不等式に帰着できます。このとき $t = 2^x > 0$ という条件を忘れないことが重要です(練習問題で扱います)。

対数とその性質

「 $2$ を何乗したら $8$ になるか?」の答えは $3$ です。このように「 $a$ を何乗したら $M$ になるか」を表す数を対数といいます。

対数の定義

$a > 0$ 、 $a \ne 1$ 、 $M > 0$ のとき

a^p = M \iff p = \log_a M

$\log_a M$ を、 $a$ を底とする $M$ の対数といい、 $M$ を真数といいます。真数は必ず正( $M > 0$ 、真数条件)です。

定義からただちに $\log_a a = 1$ 、 $\log_a 1 = 0$ が成り立ちます。

対数は指数の言い換えなので、指数法則を対数の言葉に翻訳すると、次の性質が得られます。たとえば $a^p = M$ 、 $a^q = N$ なら $MN = a^{p+q}$ なので、「積の対数は対数の和」になります。

対数の性質

$a > 0$ 、 $a \ne 1$ 、 $M > 0$ 、 $N > 0$ 、 $k$ が実数のとき

$\log_a MN = \log_a M + \log_a N$

$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

$\log_a M^k = k \log_a M$

例題 3(対数の計算)

$\log_6 4 + \log_6 9$ の値を求めよ。

解き方

積の対数の性質で1つの対数にまとめます。

\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \times 9) = \log_6 36

$36 = 6^2$ なので

\log_6 36 = \log_6 6^2 = 2

バラバラの対数は「まとめると簡単な数にならないか?」と考えるのが計算のコツです。

底の変換公式

$a$ 、 $b$ 、 $c$ が正の数で、 $a \ne 1$ 、 $c \ne 1$ のとき

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

底の異なる対数が混ざった計算では、この公式で底を1つにそろえます。

例題 4(底の変換)

$\log_4 8$ の値を求めよ。

解き方

底を $2$ に変換します。

\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{\log_2 2^3}{\log_2 2^2} = \frac{3}{2}

検算: $4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$ となり、確かに $4$ の $\dfrac{3}{2}$ 乗が $8$ です。

対数関数と常用対数

$a > 0$ 、 $a \ne 1$ のとき、 $y = \log_a x$ を対数関数といいます。 $y = \log_a x \iff x = a^y$ なので、対数関数は指数関数 $y = a^x$ の逆の対応で、グラフは直線 $y = x$ に関して指数関数のグラフと対称になります。

対数関数 $y = \log_a x$ の性質

1. 定義域は $x > 0$ (真数条件)、値域はすべての実数
2. グラフは必ず点 $(1, 0)$ を通り、 $y$ 軸が漸近線
3. $a > 1$ のとき増加関数: $0 < p < q \iff \log_a p < \log_a q$
4. $0 < a < 1$ のとき減少関数: $0 < p < q \iff \log_a p > \log_a q$

例題 5(対数方程式・不等式)

次の方程式・不等式を解け。
(1) $\log_3 (x+2) = 2$
(2) $\log_2 x < 3$

解き方

(1) まず真数条件: $x + 2 > 0$ すなわち $x > -2$ 。

対数の定義から、 $\log_3 (x+2) = 2$ は $x + 2 = 3^2$ と同じことなので

x + 2 = 9 \quad したがって \quad x = 7

これは $x > -2$ を満たすので、解は $x = 7$ 。

(2) まず真数条件: $x > 0$ 。

$3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$ と直すと、不等式は $\log_2 x < \log_2 8$ 。底 $2$ は $1$ より大きく増加関数なので、真数の大小がそのまま成り立ち $x < 8$ 。

真数条件と合わせて

0 < x < 8

対数の方程式・不等式では、最初に必ず真数条件を書き出すこと。(2) で答えを $x < 8$ としてしまうのが最も多いミスです。

底が $10$ の対数 $\log_{10} N$ を常用対数といいます。常用対数の威力は、 $2^{50}$ のような巨大な数の「桁数」を、実際に計算せずに求められることです。

桁数の判定

正の整数 $N$ について

$N$ が $n$ 桁 $\iff 10^{n-1} \le N < 10^n \iff n-1 \le \log_{10} N < n$

つまり、 $\log_{10} N$ の整数部分が $n-1$ なら、 $N$ は $n$ 桁です。

例題 6(桁数)

$3^{20}$ は何桁の整数か。ただし $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

解き方

$3^{20}$ の常用対数をとります。 $\log_a M^k = k \log_a M$ より

\log_{10} 3^{20} = 20 \log_{10} 3 = 20 \times 0.4771 = 9.542

$9 \le 9.542 < 10$ なので

10^9 \le 3^{20} < 10^{10}

したがって $3^{20}$ は 10桁の整数です。

「 $\log_{10} N$ の整数部分 $+1$ が桁数」と覚えておくと速く処理できます。

§1指数の拡張と累乗根

§2指数関数のグラフと方程式・不等式

§3対数とその性質

§4対数関数と常用対数

指数の拡張と累乗根

指数関数のグラフと方程式・不等式

対数とその性質

対数関数と常用対数