答えと解説

(1) $4 = 2^2$ と直してから、指数法則 $(a^r)^s = a^{rs}$ を使います。

負の指数の定義 $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ より

(2) 累乗根を分数の指数に直します。$16 = 2^4$、$4 = 2^2$ なので

別解として、$\sqrt[3]{16} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{64} = 4$ と根号のまま計算してもかまいません。どちらの方法でも、まず素因数分解して底をそろえるのが基本です。

(1) 右辺を底 $2$ の累乗に直します。$32 = 2^5$ なので

$y = 2^x$ は増加関数で、同じ値をとる $x$ はただ1つだから

(2) 底を $3$ にそろえます。$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$、$27 = 3^3$ なので

指数を比較して $-x = 3$、すなわち

検算: $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = 3^3 = 27$ で確かに成り立ちます。指数方程式は「底をそろえて指数を比較」が鉄則です。

いずれも「底を何乗したら真数になるか」を考えます。対数の定義 $a^p = M \iff p = \log_a M$ に戻るのが基本です。

(1) $2^3 = 8$ なので

(2) $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2} = 3^{-2}$ なので

(3) $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$ なので

真数を「底の累乗」の形に書き直せば、その指数がそのまま対数の値になります。分数や根号が出てきても、負の指数・分数の指数で表せば同じ手順で処理できます。

(1) 積の対数の性質 $\log_a M + \log_a N = \log_a MN$ で1つにまとめます。

(2) 商の対数の性質 $\log_a M - \log_a N = \log_a \dfrac{M}{N}$ でまとめます。

$\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = 1$ は常用対数の計算で何度も使う関係です($2 \times 5 = 10$ だから)。「和は積に、差は商に」まとめて、簡単な数にならないか確かめましょう。

底を $\dfrac{1}{2}$ にそろえます。$\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ なので

底 $\dfrac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ は減少関数です。したがって、指数の大小は不等号の向きが逆になり

検算: $x = 4$ を入れると $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16} < \dfrac{1}{8}$ で成立します。「底が $1$ より小さいときは不等号の向きが逆になる」が、この単元でいちばん多いミスのポイントです。

(1) 与えられた式を2乗します。$a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1$ に注意すると

左辺は $3^2 = 9$ なので

(2) 3乗の公式 $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ を $x = a^{\frac{1}{2}}$、$y = a^{-\frac{1}{2}}$ で使います。$xy = 1$ なので

したがって

$a^{\frac{1}{2}}$ と $a^{-\frac{1}{2}}$ は掛けると $1$ になる——この対称式の構造に気づけば、数学Iで学んだ対称式の計算がそのまま使えます。

$2^x = t$ とおきます。指数関数の値域から、必ず $t > 0$ です。$4^x = (2^x)^2 = t^2$ なので、方程式は

左辺を因数分解して

$t = 4$ または $t = -1$ ですが、$t > 0$ より $t = -1$ は不適。よって $t = 4$、すなわち

したがって

検算: $4^2 - 3 \cdot 2^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ ✓

おき換えたら必ず「$t > 0$」の条件を書くこと。この条件チェックを忘れて $t = -1$ からも解を出そうとするのが典型的なミスです。

$3^x = t$($t > 0$)とおきます。$9^x = (3^x)^2 = t^2$ なので、不等式は

左辺を因数分解して

2次不等式の解は

(これは $t > 0$ を自動的に満たしています。)$t = 3^x$ に戻すと

底 $3$ は $1$ より大きく $y = 3^x$ は増加関数なので、指数の大小がそのまま成り立ち

検算: $x = 0$ で $1 - 4 + 3 = 0 \le 0$ ✓、$x = 1$ で $9 - 12 + 3 = 0 \le 0$ ✓。「おき換え → 2次不等式 → 指数に戻す」という3段構えの流れを身につけましょう。

まず真数条件を確認します。$x - 1 > 0$ かつ $x + 1 > 0$ より

積の対数の性質で左辺を1つにまとめます。

対数の定義から

左辺を展開して

よって $x = 3$ または $x = -3$。真数条件 $x > 1$ より $x = -3$ は不適なので

検算: $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ ✓

対数方程式では「真数条件を最初に書き、最後に解を条件と照合する」を徹底しましょう。$x = -3$ を答えに含めるのが最頻出のミスです。

どちらも底の変換公式 $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ を使います。

(1) $9 = 3^2$、$27 = 3^3$ なので、底を $3$ に変換して

検算: $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$ ✓

(2) $\log_3 8$ の底を $2$ に変換します。

これを代入すると、$\log_2 3$ が約分されて

底の異なる対数の積は、底を1つにそろえると約分でうまく消えることが多い——これがこのタイプの問題の狙いです。

まず真数条件: $x - 1 > 0$ より

右辺の $-2$ を底 $\dfrac{1}{2}$ の対数で表します。$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$ なので

したがって不等式は

底 $\dfrac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は減少関数です。よって真数の大小は不等号の向きが逆になり

真数条件と合わせて

検算: $x = 2$ のとき $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0 > -2$ ✓。「底が $1$ より小さいと不等号が逆転」と「真数条件との共通範囲をとる」の2つを両方こなす必要がある、テスト頻出の形です。

桁数を調べるには常用対数をとります。$\log_a M^k = k \log_a M$ より

したがって

これは

を意味します。$10^{15}$ は16桁の最小の数($1$ のあとに $0$ が15個)なので、$2^{50}$ は 16桁 の整数です。

一般に「$N$ が $n$ 桁 $\iff n - 1 \le \log_{10} N < n$」、つまり $\log_{10} N$ の整数部分に $1$ を足せば桁数です。$15.05$ を見て「15桁」と答えてしまうのが典型的なミス——$10^1 = 10$ が2桁であることを思い出して確認しましょう。

$\log_2 x = t$ とおきます。まず $t$ の範囲を求めます。$1 \le x \le 8$ で $y = \log_2 x$ は増加関数なので

このとき

平方完成して

軸 $t = 2$ は範囲 $0 \le t \le 3$ の内部にあります。

【最小値】頂点 $t = 2$ でとり、$y = -3$。このとき $\log_2 x = 2$ より $x = 2^2 = 4$。

【最大値】軸から遠い端点でとります。$t = 0$ は軸から距離 $2$、$t = 3$ は距離 $1$ なので、$t = 0$ で最大。

このとき $\log_2 x = 0$ より $x = 1$。

(参考: $t = 3$ では $y = (3-2)^2 - 3 = -2$ で、確かに $1$ より小さい。)

以上より、最大値 $1$($x = 1$)、最小値 $-3$($x = 4$)。

おき換えたら「$t$ の範囲」を必ず求めること。範囲を忘れると、定義域つき2次関数の最大・最小問題として処理できません。最後に $t$ から $x$ に戻すのも忘れずに。

常用対数をとります。$0.3 = \dfrac{3}{10}$ なので

したがって

これより

すなわち

$10^{-11} = 0.00000000001$ は小数第11位に初めて $1$ が現れる数で、$10^{-10}$ 未満の数は小数第10位までがすべて $0$ です。したがって $0.3^{20}$ は 小数第11位 に初めて $0$ でない数字が現れます。

一般に「$-n \le \log_{10} N < -(n-1) \iff N$ は小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる」です。桁数の問題(整数部分 $+1$)と対にして覚えましょう。$-10.458$ の整数部分は $-11$($-10$ ではない!)という負の数の扱いが最大の注意点です。