答えと解説

(1) 2点間の距離の公式 $\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ を使います。

(2) 中点の公式(各座標の平均)を使います。

距離の計算では、$x_2 - x_1 = 3 - (-1) = 4$ のように、負の座標を引くときの符号に注意しましょう。差は2乗するので、引く順番はどちらでもかまいません。

内分点の公式 $\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)$ に $m=2$、$n=3$ を代入します。

外分点は、内分点の公式で $n$ を $-n$ にした形 $\left(\dfrac{-nx_1+mx_2}{m-n},\ \dfrac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)$ を使います。

外分点では分母が $m - n$ になるので、$m < n$ のとき分母が負になります。符号処理をていねいに行いましょう。$m:n$ の比で $m$ が $x_2$(終点側)に掛かることも確認ポイントです。

(1) 点 $(x_1,\ y_1)$ を通り傾き $m$ の直線の公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使います。

(2) まず2点から傾きを求めます。

点 $(1,\ 2)$ を通り傾き $2$ なので

検算として、もう一方の点 $(3,\ 6)$ を代入すると $6 = 2 \cdot 3$ で成り立ちます。2点を通る直線は、使わなかった方の点で必ず検算しましょう。

(1) 中心 $(a,\ b)$、半径 $r$ の円の方程式は $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ です。$a=2$、$b=-3$、$r=4$ を代入して

中心の $y$ 座標が $-3$ なので、式では $y+3$ になります。符号が反転することに注意しましょう。

(2) 中心が原点なので、円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ の形です。点 $(3,\ 4)$ を通るので、半径の2乗は原点からこの点までの距離の2乗に等しく

よって

右辺は半径そのものではなく「半径の2乗」です。$r = 5$ と $r^2 = 25$ を混同しないようにしましょう。

前半は点と直線の距離の公式 $d = \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を使います。$a=3$、$b=4$、$c=-1$、$(x_1,\ y_1)=(1,\ 2)$ を代入して

後半は、点の座標を不等式の左辺に代入して符号を調べます。

不等式が成り立つので、点 $(3,\ 1)$ はこの領域に含まれます。

領域の問題では「代入して成り立つかどうか」がすべての基本です。分子の絶対値のつけ忘れにも注意しましょう。

与えられた直線を変形すると $y = -2x + 3$ なので、傾きは $-2$ です。

【平行な直線】傾きが等しいので、傾き $-2$ で点 $(1,\ -2)$ を通る直線を求めます。

【垂直な直線】傾きの積が $-1$ になればよいので、求める傾きを $m$ とすると $(-2) \cdot m = -1$ より $m = \dfrac{1}{2}$。点 $(1,\ -2)$ を通るので

両辺を $2$ 倍して

検算として点 $(1,\ -2)$ を代入すると、$2 \cdot 1 + (-2) = 0$、$1 - 2 \cdot (-2) - 5 = 0$ でどちらも成り立ちます。垂直条件「傾きの積が $-1$」で、逆数にするだけで符号を変え忘れるミスが頻出です。

(1) $x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成します。

よって中心 $(2,\ -3)$、半径 $\sqrt{16} = 4$ です。

(2) 3点を通る円は、一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおいて、3点を代入します。

$(0,\ 0)$ を代入: $n = 0$

$(6,\ 0)$ を代入: $36 + 6l + n = 0$。$n=0$ より $6l = -36$、$l = -6$

$(0,\ 8)$ を代入: $64 + 8m + n = 0$。$n=0$ より $8m = -64$、$m = -8$

よって

平方完成すると $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ で、中心 $(3,\ 4)$、半径 $5$ の円です。

3点を通る円では、基本形より一般形でおく方が連立方程式が簡単になります。求めた式に3点をもう一度代入して検算しましょう。

円の中心と直線の距離 $d$ と半径 $r$ を比べる方法を使います。共有点をもつ条件は $d \le r$ です。

直線を一般形に直すと $x - y + k = 0$。円の中心は原点 $(0,\ 0)$、半径は $r = 2$ です。

中心と直線の距離は

共有点をもつ条件 $d \le r$ より

判別式を使う方法($y = x+k$ を円の式に代入して $2x^2 + 2kx + k^2 - 4 = 0$ の $D \ge 0$ を解く)でも同じ答えになります。「共有点をもつ」は接する場合を含むので、等号を落とさないことがポイントです。

(1) 円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線の公式 $x_1 x + y_1 y = r^2$ を使います。$(3,\ 4)$ は $3^2+4^2 = 25$ を満たすので円上の点であり

(2) 点 $(3,\ 1)$ は $3^2+1^2 = 10 \ne 5$ なので円上の点ではありません(円の外部の点)。接点を $(x_1,\ y_1)$ とおくと、接線は

この接線が点 $(3,\ 1)$ を通るので

また、接点は円上にあるので

①より $y_1 = 5 - 3x_1$。②に代入して

よって $x_1 = 1,\ 2$。

$x_1 = 1$ のとき $y_1 = 2$ で、接線は $x + 2y = 5$

$x_1 = 2$ のとき $y_1 = -1$ で、接線は $2x - y = 5$

外部の点から引ける接線は2本あります。答えが1本しか出なかったら計算ミスを疑いましょう。検算として、原点と各直線の距離が $\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$(半径)になることが確認できます。

点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおくと、条件は $\mathrm{PA} : \mathrm{PB} = 2 : 1$、すなわち $\mathrm{PA} = 2\mathrm{PB}$ です。両辺とも $0$ 以上なので、2乗して

距離の公式で表すと

左辺と右辺を展開して

すべて右辺に集めると

両辺を $3$ で割って

平方完成して

よって、求める軌跡は中心 $(5,\ 0)$、半径 $4$ の円です。逆に、この円上のすべての点は条件を満たします(たとえば点 $(1,\ 0)$ では $\mathrm{PA}=4$、$\mathrm{PB}=2$ で確かに $2:1$ です)。

2定点からの距離の比が $m:n$($m \ne n$)である点の軌跡は円になり、アポロニウスの円と呼ばれます。比の条件は「2乗して距離の公式へ」が定石です。

まず領域を図示します。境界となる2直線 $x + 2y = 6$ と $2x + y = 6$ の交点を求めると、2式を足して $3x + 3y = 12$、つまり $x + y = 4$。第1式との差から $y = 2$、$x = 2$ で、交点は $(2,\ 2)$ です。

領域は4点 $(0,\ 0)$、$(3,\ 0)$、$(2,\ 2)$、$(0,\ 3)$ を頂点とする四角形(境界を含む)になります。

$x + y = k$ とおくと、これは傾き $-1$ の直線で、$k$ が大きいほど右上にあります。直線を平行移動させると、最大・最小は領域の頂点でおこるので、各頂点で $x+y$ の値を計算します。

よって、最大値は $(2,\ 2)$ のとき $4$、最小値は $(0,\ 0)$ のとき $0$ です。

頂点の候補をすべて調べ上げるのがこのタイプの定石です。交点 $(2,\ 2)$ の計算を忘れて $(3,\ 0)$ や $(0,\ 3)$ を最大と答えるミスが多いので、領域の頂点を漏れなく求めましょう。

【対称点を求める】$\mathrm{A}'(p,\ q)$ とおきます。対称の条件は次の2つです。

条件1: 線分 $\mathrm{AA}'$ の中点 $\left(\dfrac{3+p}{2},\ \dfrac{1+q}{2}\right)$ が直線 $y = 2x$ 上にある。

条件2: 直線 $\mathrm{AA}'$ が $y = 2x$ と垂直。傾きの積が $-1$ なので

②を①に代入して

よって $\mathrm{A}'(-1,\ 3)$ です。検算: 中点は $(1,\ 2)$ で $2 = 2 \cdot 1$ を満たし、$\mathrm{AA}'$ の傾きは $\dfrac{3-1}{-1-3} = -\dfrac{1}{2}$ で $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$ となり垂直です。

【最小値を求める】$\mathrm{A}(3,\ 1)$ と $\mathrm{B}(4,\ 6)$ はどちらも直線 $y=2x$ の下側($1 < 2 \cdot 3$、$6 < 2 \cdot 4$)にあります。対称性より $\mathrm{AP} = \mathrm{A}'\mathrm{P}$ なので

等号は $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{A}'\mathrm{B}$ と直線 $y=2x$ の交点にあるとき成立します。よって最小値は

「折れ線の長さの最小値は、片方の点を直線に関して折り返して直線距離にする」という発想は入試頻出です。折り返す点はどちらでもかまいません。

連動型の軌跡なので、動く点 $\mathrm{Q}(s,\ t)$、求める点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおきます。

$\mathrm{Q}$ は円上の点なので

$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}(6,\ 0)$ と $\mathrm{Q}(s,\ t)$ の中点なので

これを $s$、$t$ について解くと

①に代入して

両辺を $4$ で割って

よって、求める軌跡は中心 $(3,\ 0)$、半径 $\dfrac{3}{2}$ の円です。$\mathrm{Q}$ が元の円全体を動くとき $\mathrm{P}$ もこの円全体を動くので、除外する点はありません。

連動型では「$s$、$t$ を $x$、$y$ で表して、$s$、$t$ の満たす式に代入して消去する」のが定石です。図形的にも、中点 $\mathrm{P}$ は元の円を点 $\mathrm{A}$ を中心に $\dfrac{1}{2}$ に縮小した円を描く、と考えると答えの妥当性が確認できます(中心は $(0,\ 0)$ と $(6,\ 0)$ の中点 $(3,\ 0)$、半径は $3 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$)。

領域は中心が原点、半径 $2$ の円の内部と周(境界を含む)です。

$2x + y = k$ とおくと、これは直線 $2x + y - k = 0$ を表します。この直線が領域と共有点をもつような $k$ の範囲を求めれば、その範囲の両端が最大値・最小値です。

直線が円の内部・周と共有点をもつ条件は、円の中心(原点)と直線の距離 $d$ が半径以下になることです。

よって、最大値は $2\sqrt{5}$、最小値は $-2\sqrt{5}$ です。

最大値をとる点も確認しておきます。$k = 2\sqrt{5}$ のとき直線は円に接し、接点は原点から直線 $2x+y=2\sqrt{5}$ に下ろした垂線の足で $\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5},\ \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$。実際、$x^2+y^2 = \dfrac{16}{5} + \dfrac{4}{5} = 4$ で円周上にあり、$2x + y = \dfrac{8\sqrt{5}}{5} + \dfrac{2\sqrt{5}}{5} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$ となって確かに最大値を与えます。

境界が円の領域では、頂点調べではなく「接するとき」が最大・最小の鍵になります。多角形のときとの違いを意識しましょう。