練習問題

2点 $\mathrm{A}(-1,\ 3)$、$\mathrm{B}(3,\ 6)$ について、次を求めよ。
(1) 2点間の距離 $\mathrm{AB}$
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ の中点の座標

2点 $\mathrm{A}(2,\ -3)$、$\mathrm{B}(7,\ 7)$ について、線分 $\mathrm{AB}$ を $2:3$ に内分する点 $\mathrm{P}$ と、$2:3$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

次の直線の方程式を求めよ。
(1) 点 $(2,\ -1)$ を通り、傾きが $3$ の直線
(2) 2点 $(1,\ 2)$、$(3,\ 6)$ を通る直線

次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心 $(2,\ -3)$、半径 $4$ の円
(2) 中心が原点で、点 $(3,\ 4)$ を通る円

点 $(1,\ 2)$ と直線 $3x + 4y - 1 = 0$ の距離を求めよ。また、点 $(3,\ 1)$ は不等式 $x + 2y - 4 > 0$ の表す領域に含まれるか。

点 $(1,\ -2)$ を通り、直線 $2x + y - 3 = 0$ に平行な直線と、垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

(1) 方程式 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ の表す円の中心と半径を求めよ。
(2) 3点 $(0,\ 0)$、$(6,\ 0)$、$(0,\ 8)$ を通る円の方程式を求めよ。

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + k$ が共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3,\ 4)$ における接線の方程式を求めよ。
(2) 点 $(3,\ 1)$ から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(-3,\ 0)$、$\mathrm{B}(3,\ 0)$ からの距離の比が $2:1$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$x \ge 0$、$y \ge 0$、$x + 2y \le 6$、$2x + y \le 6$ のとき、$x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

直線 $y = 2x$ に関して点 $\mathrm{A}(3,\ 1)$ と対称な点 $\mathrm{A}'$ の座標を求めよ。また、点 $\mathrm{P}$ が直線 $y = 2x$ 上を動くとき、$\mathrm{AP} + \mathrm{PB}$ の最小値を求めよ。ただし $\mathrm{B}(4,\ 6)$ とする。

点 $\mathrm{Q}$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、点 $\mathrm{A}(6,\ 0)$ と $\mathrm{Q}$ を結ぶ線分 $\mathrm{AQ}$ の中点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

実数 $x$、$y$ が $x^2 + y^2 \le 4$ を満たすとき、$2x + y$ の最大値と最小値を求めよ。