練習問題

次の関数を微分せよ。
(1) $y = (x^2+1)(2x-3)$
(2) $y = \dfrac{x}{x^2+1}$

次の関数を微分せよ。
(1) $y = (2x+1)^5$
(2) $y = \sqrt{x^2+3}$

次の関数を微分せよ。
(1) $y = \sin 3x$
(2) $y = e^{2x}$
(3) $y = \log(x^2+1)$

曲線 $y = \log x$ 上の点 $(1,\ 0)$ における接線の方程式を求めよ。

関数 $y = xe^x$ の極値を求めよ。

対数微分法を用いて、関数 $y = x^x$($x > 0$)を微分せよ。

曲線 $y = \sqrt{x}$ 上の点 $(4,\ 2)$ における接線と法線の方程式を求めよ。

原点から曲線 $y = e^x$ に引いた接線の方程式を求めよ。

$f(x) = \log x$、区間 $[1,\ e]$ について、平均値の定理を満たす $c$ の値を求めよ。

関数 $y = x^4 - 4x^3$ の極値と変曲点を求めよ。

関数 $y = x + 2\cos x$($0 \le x \le \pi$)の最大値と最小値を求めよ。

(1) 関数 $f(x) = \dfrac{\log x}{x}$($x > 0$)の最大値を求めよ。
(2) (1) を利用して、$e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ の大小を比較せよ。

$a$ を実数の定数とするとき、方程式 $xe^{-x} = a$ の異なる実数解の個数を調べよ。ただし $\displaystyle\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ を用いてよい。

$x > 0$ のとき、不等式 $e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ が成り立つことを証明せよ。