極限 | 数学III | みんなの教科書

数列の極限

数列 $\{a_n\}$ において、 $n$ を限りなく大きくしたとき $a_n$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば、数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ に収束するといい、

\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha

と書きます。たとえば $a_n = \dfrac{1}{n}$ なら、 $n$ が大きくなるにつれて $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dots$ と $0$ に近づくので $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$ です。

収束しない数列は発散するといいます。発散には、 $a_n = n^2$ のように限りなく大きくなる「正の無限大に発散( $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ )」、 $a_n = -n$ のような「負の無限大に発散」、 $a_n = (-1)^n$ のようにどの値にも近づかない「振動」の3種類があります。

極限の性質

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ 、 $\lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ (いずれも収束)のとき

$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta$ 、 $\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \alpha - \beta$

$\lim_{n \to \infty} k a_n = k\alpha$ ( $k$ は定数)、 $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha\beta$

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{\alpha}{\beta}$ (ただし $\beta \ne 0$ )

これらの性質は「両方の数列が収束する」ときにだけ使えます。 $\infty - \infty$ や $\dfrac{\infty}{\infty}$ の形は、このままでは値が定まらない(不定形)ので、式を変形してから極限をとります。

例題 1(不定形の処理)

極限 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n^2 - 1}{n^2 + 3n}$ を求めよ。

解き方

分母・分子とも $\infty$ に発散する $\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形です。分母の最高次の項 $n^2$ で分母・分子を割ります。

\frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3n} = \frac{2 - \dfrac{1}{n^2}}{1 + \dfrac{3}{n}}

$n \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{n^2} \to 0$ 、 $\dfrac{3}{n} \to 0$ なので

\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 3n} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2

「分母の最高次の項で割る」のが $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型の定石です。

はさみうちの原理

すべての $n$ について $a_n \le b_n \le c_n$ が成り立ち、

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha

ならば、 $\lim_{n \to \infty} b_n = \alpha$ である。

直接極限が求めにくい数列を、極限のわかる2つの数列で「はさむ」ことで極限を確定させる、とても強力な定理です。 $\sin$ や $\cos$ 、 $(-1)^n$ を含む数列で活躍します。

例題 2(はさみうちの原理)

極限 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sin \dfrac{n\pi}{2}$ を求めよ。

解き方

$\sin \dfrac{n\pi}{2}$ は $1, 0, -1, 0, \dots$ と振動して収束しませんが、値は必ず $-1$ 以上 $1$ 以下です。

-1 \le \sin \frac{n\pi}{2} \le 1

各辺に $\dfrac{1}{n} > 0$ を掛けると

-\frac{1}{n} \le \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} \le \frac{1}{n}

$\lim_{n \to \infty} \left(-\dfrac{1}{n}\right) = 0$ 、 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$ なので、はさみうちの原理により

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi}{2} = 0

「振動する部分は有界(値が一定の範囲におさまる)」という点に注目して、両側からはさむのがコツです。

無限等比数列と無限級数

公比 $r$ の無限等比数列 $\{r^n\}$ の極限は、 $r$ の値によって様子がまったく変わります。たとえば $r = \dfrac{1}{2}$ なら $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dots$ と $0$ に近づき、 $r = 2$ なら $2, 4, 8, \dots$ と限りなく大きくなります。

数列 {rⁿ} の極限

$r > 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$ (発散)

$r = 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} r^n = 1$ (収束)

$|r| < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ (収束)

$r \le -1$ のとき振動して発散

つまり $\{r^n\}$ が収束する条件は $-1 < r \le 1$ です。 $r = 1$ が含まれ、 $r = -1$ が含まれないことに注意しましょう。

数列 $\{a_n\}$ の項を限りなく足した式

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

を無限級数といいます。無限級数の値は、初項から第 $n$ 項までの和(部分和) $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ を考え、その数列 $\{S_n\}$ の極限として定義します。 $\{S_n\}$ が $S$ に収束するとき、この無限級数は $S$ に収束するといいます。

特に、初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列から作られる無限級数を無限等比級数といいます。

無限等比級数の収束条件と和

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + \cdots$ は

$a = 0$ のとき、または $|r| < 1$ のとき収束し、その和は

\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \quad (a \ne 0 \text{, } |r|<1)

$a \ne 0$ かつ $|r| \ge 1$ のときは発散する。

部分和 $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ において、 $|r|<1$ なら $r^n \to 0$ となることから導かれます。

例題 3(無限等比級数の和)

無限等比級数 $3 + \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{16} + \cdots$ の和を求めよ。

解き方

初項 $a = 3$ 、公比 $r = \dfrac{1}{4}$ の無限等比級数です。 $|r| = \dfrac{1}{4} < 1$ なので収束し、和の公式より

S = \frac{a}{1-r} = \frac{3}{1 - \dfrac{1}{4}} = \frac{3}{\dfrac{3}{4}} = 4

和を求める前に、必ず $|r| < 1$ を確認する習慣をつけましょう。

例題 4(循環小数)

循環小数 $0.\dot{2}\dot{7} = 0.272727\cdots$ を分数で表せ。

解き方

循環小数は無限等比級数として表せます。

0.272727\cdots = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + \cdots

これは初項 $a = 0.27$ 、公比 $r = 0.01$ の無限等比級数で、 $|r| < 1$ なので収束します。

0.\dot{2}\dot{7} = \frac{0.27}{1 - 0.01} = \frac{0.27}{0.99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

検算として $3 \div 11 = 0.2727\cdots$ を確かめられます。

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、必ず $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ が成り立ちます。この対偶を使うと、「 $\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$ ならば級数は発散する」と判定できます。ただし逆は成り立ちません。 $a_n \to 0$ でも級数が発散する例( $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ など)があるので注意しましょう。

関数の極限

関数 $f(x)$ において、 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、 $f(x)$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば

\lim_{x \to a} f(x) = \alpha

と書きます。大切なのは、 $x = a$ での値 $f(a)$ そのものではなく、「 $a$ に近づいたときの行き先」を見ている点です。 $f(a)$ が定義されていなくても極限は存在しえます。

$\dfrac{0}{0}$ の不定形になるときは、因数分解して約分する、または有理化するのが定石です。

例題 5(0/0 型の極限)

極限 $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3}$ を求めよ。

解き方

$x = 3$ を代入すると分母・分子とも $0$ になる $\dfrac{0}{0}$ の不定形です。分子を因数分解します。

\frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+2)}{x-3}

$x \to 3$ では $x \ne 3$ 、すなわち $x - 3 \ne 0$ なので約分できて

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x+2) = 5

「 $x \to 3$ のとき $x \ne 3$ だから約分してよい」という理屈をおさえておきましょう。

片側極限と極限の存在

$x$ が $a$ より大きい側から近づくときの極限を右側極限 $\lim_{x \to a+0} f(x)$ 、小さい側から近づくときの極限を左側極限 $\lim_{x \to a-0} f(x)$ といいます。

\lim_{x \to a} f(x) = \alpha \iff \lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a-0} f(x) = \alpha

右側極限と左側極限が一致しないとき、 $\lim_{x \to a} f(x)$ は存在しません。絶対値やガウス記号を含む関数では、左右で式の形が変わるので片側極限を別々に調べます。

$x \to \infty$ や $x \to -\infty$ の極限も、数列のときと同じ考え方で扱います。 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型は分母の最高次の項で割り、 $\infty - \infty$ 型(特に $\sqrt{\phantom{x}}$ を含むもの)は有理化して形を変えます。

例題 6(∞−∞ 型は有理化)

極限 $\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right)$ を求めよ。

解き方

$\infty - \infty$ の不定形です。 $\sqrt{x^2+2x} + x$ を分母・分子に掛けて有理化します。

\sqrt{x^2+2x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+2x} - x)(\sqrt{x^2+2x} + x)}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} + x}

分母・分子を $x$ ( $x > 0$ なので $x = \sqrt{x^2}$ )で割ると

\frac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{2}{x}} + 1}

$x \to \infty$ のとき $\dfrac{2}{x} \to 0$ なので

\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) = \frac{2}{\sqrt{1} + 1} = 1

根号を含む $\infty - \infty$ 型は「まず有理化」と覚えておきましょう。

三角関数の極限と関数の連続性

三角関数の極限で最も重要なのが、次の公式です。角の単位が弧度法(ラジアン)であることが前提です。この公式は、扇形の面積(または弧の長さ)を使って $\cos x \le \dfrac{\sin x}{x} \le 1$ のようにはさみうちの原理で証明されます。

三角関数の極限の基本公式

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

これから次の形もすぐに導けます。

\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \text{,} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \text{,} \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

$\dfrac{\sin \bigcirc}{\bigcirc}$ の「 $\bigcirc$ の部分をそろえる」のが使い方の基本です。

例題 7(sin x / x の利用)

極限 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ を求めよ。

解き方

$\dfrac{\sin \bigcirc}{\bigcirc}$ の形を作るため、 $\dfrac{\sin 2x}{2x}$ と $\dfrac{3x}{\sin 3x}$ が現れるように変形します。

\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{2}{3}

$x \to 0$ のとき $2x \to 0$ 、 $3x \to 0$ なので、 $\dfrac{\sin 2x}{2x} \to 1$ 、 $\dfrac{3x}{\sin 3x} \to 1$ 。よって

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

答えが「 $\sin$ の中身の係数の比」になることも覚えておくと検算に使えます。

関数 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとは、

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

が成り立つことをいいます。つまり「極限値が存在し、それが $f(a)$ に一致する」ということで、グラフが $x = a$ でつながっているイメージです。多項式・三角関数・指数関数・対数関数は、定義域のすべての点で連続です。

定義域のすべての点で連続な関数を連続関数といい、連続関数には次の重要な定理が成り立ちます。

中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, \ b]$ で連続で、 $f(a) \ne f(b)$ ならば、 $f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して

f(c) = k \text{,} \quad a < c < b

を満たす実数 $c$ が少なくとも1つ存在する。

特に、 $f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば、方程式 $f(x) = 0$ は $a < x < b$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもちます。方程式の「解の存在証明」の強力な道具です。

例題 8(中間値の定理)

方程式 $x - \cos x = 0$ は $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲に実数解をもつことを示せ。

解き方

$f(x) = x - \cos x$ とおくと、 $f(x)$ は連続関数どうしの差なので、閉区間 $\left[0, \ \dfrac{\pi}{2}\right]$ で連続です。

区間の両端での値を調べると

f(0) = 0 - \cos 0 = -1 < 0

f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} > 0

$f(0)$ と $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ は異符号なので、中間値の定理により、 $f(c) = 0$ すなわち $c - \cos c = 0$ を満たす実数 $c$ が $0 < c < \dfrac{\pi}{2}$ に少なくとも1つ存在します。

よって、方程式 $x - \cos x = 0$ は $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲に実数解をもちます。(証明終)

「連続であること」と「両端で異符号」の2点を必ず明記するのが答案のポイントです。

極限

§1数列の極限

§2無限等比数列と無限級数

§3関数の極限

§4三角関数の極限と関数の連続性

数列の極限

無限等比数列と無限級数

関数の極限

三角関数の極限と関数の連続性