練習問題

極限 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 + 2n}$ を求めよ。

極限 $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)$ を求めよ。

無限等比級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^n$ の和を求めよ。

極限 $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ を求めよ。

極限 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x}$ を求めよ。

極限 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n+1} - 2^n}{3^n + 2^n}$ を求めよ。

はさみうちの原理を用いて、極限 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n - \sin n}{n + 1}$ を求めよ。

無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (x-1)^n$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求めよ。

関数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{|x - 1|}$ について、右側極限 $\lim_{x \to 1+0} f(x)$ と左側極限 $\lim_{x \to 1-0} f(x)$ を求め、$\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在するかどうか調べよ。

等式 $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ が成り立つように、定数 $a$、$b$ の値を定めよ。

極限 $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ を求めよ。

$r \ne -1$ とする。極限 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{r^n}{1 + r^n}$ を、$r$ の値によって場合分けして求めよ。

無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$ の和を求めよ。

方程式 $x^3 - 3x + 1 = 0$ は $0 < x < 1$ の範囲に実数解をもつことを示せ。