積分法

置換積分・部分積分、定積分の応用として面積・体積・曲線の長さを学びます。

不定積分

$F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を $f(x)$ の不定積分といい、 $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$ ( $C$ は積分定数)と書きます。数学IIIでは、 $x^{\alpha}$ ( $\alpha$ は実数)、指数関数、三角関数など、扱える関数の種類が一気に広がります。微分の公式を「逆向きに読む」ことが基本です。

基本公式

$\displaystyle\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ ( $\alpha \ne -1$ )、 $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \log|x| + C$

$\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$ 、 $\displaystyle\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\log a} + C$

$\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ 、 $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$

$\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$ 、 $\displaystyle\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\tan x} + C$

$F'(x) = f(x)$ のとき、合成関数の微分を逆に使うと次が成り立ちます( $a \ne 0$ )。

\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C

「中身が1次式なら、積分してから中身の $x$ の係数で割る」と覚えましょう。

例題 1(1次式の置き換え)

$\displaystyle\int (2x+1)^4\,dx$ を求めよ。

解き方

$x^4$ の不定積分は $\dfrac{x^5}{5}$ です。中身 $2x+1$ の $x$ の係数 $2$ で割って

\int (2x+1)^4\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^5}{5} + C = \frac{1}{10}(2x+1)^5 + C

微分して $(2x+1)^4$ に戻るか確認しましょう。 $\dfrac{1}{10} \cdot 5(2x+1)^4 \cdot 2 = (2x+1)^4$ で確かに戻ります。

置換積分法

$t = g(x)$ とおくと $dt = g'(x)\,dx$ であり

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt

特に、分子が分母の微分になっているときは

\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log|g(x)| + C

例題 2(置換積分)

$\displaystyle\int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx$ を求めよ。

解き方

$t = x^2+1$ とおくと $dt = 2x\,dx$ なので

\int 2x\sqrt{x^2+1}\,dx = \int \sqrt{t}\,dt = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C

$t$ を元に戻して

\frac{2}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1} + C

「 $\sqrt{\phantom{a}}$ の中身の微分( $2x$ )が外に掛かっている」ことに気づくのがポイントです。

部分積分法

積の微分法 $(fg)' = f'g + fg'$ を逆に使うと

\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx

$x\sin x$ や $x\cos x$ 、 $xe^x$ 、 $\log x$ を含む積分で活躍します。「微分すると簡単になる方」を $f(x)$ に選ぶのがコツです。

例題 3(部分積分)

$\displaystyle\int x\cos x\,dx$ を求めよ。

解き方

$x$ は微分すると $1$ になって簡単になるので、 $f(x) = x$ 、 $g'(x) = \cos x$ (つまり $g(x) = \sin x$ )とします。

\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int 1 \cdot \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C

微分して検算すると、 $(x\sin x + \cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$ で確かに戻ります。

いろいろな関数の積分

$\sin^2 x$ や $\cos^2 x$ はそのままでは積分できませんが、半角公式(次数下げの公式)で1次の式に直せば積分できます。「三角関数の積分は、まず次数を下げる」が合言葉です。

次数下げと積和の公式

$\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$ 、 $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$ 、 $\sin x\cos x = \dfrac{\sin 2x}{2}$

$\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}$ などの積和公式で、積の形も和の形に直せます。

例題 4(三角関数の積分)

$\displaystyle\int \cos^2 x\,dx$ を求めよ。

解き方

半角公式で次数を下げます。

\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

$\cos 2x$ の積分で、中身の係数 $2$ で割るのを忘れないようにしましょう。

$\tan x$ の積分は、 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ と直すと、分子が分母の微分(の $-1$ 倍)になっているので

\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\log|\cos x| + C

と求められます。 $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ の形を見抜く練習をしておきましょう。

分数関数の積分の定石

1. (分子の次数) $\ge$ (分母の次数)のときは、割り算をして分子の次数を下げる
2. 分母が積の形に因数分解できるときは、部分分数分解で分ける
3. $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ の形なら $\log|g(x)| + C$

例題 5(部分分数分解)

$\displaystyle\int \frac{dx}{x(x+1)}$ を求めよ。

解き方

$\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1}$ とおいて通分すると、分子は $a(x+1) + bx = (a+b)x + a$ 。これが $1$ と一致するので $a = 1$ 、 $b = -1$ です。

\int \frac{dx}{x(x+1)} = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \log|x| - \log|x+1| + C = \log\left|\frac{x}{x+1}\right| + C

部分分数分解は、数列の和(数学B)でも使った「差の形に分ける」考え方と同じです。

定積分

定積分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$ の計算でも、置換積分・部分積分が使えます。置換積分では、 $x$ の積分区間を $t$ の積分区間に対応させて書き換えるのがポイントで、元の変数に戻す必要がなくなります。

定積分の置換積分

$x = g(t)$ とおき、 $x$ が $a$ から $b$ まで動くとき $t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで動くならば

\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))\,g'(t)\,dt

特に重要な置き換え( $a > 0$ ):
$\sqrt{a^2 - x^2}$ を含むとき … $x = a\sin\theta$
$\dfrac{1}{a^2 + x^2}$ を含むとき … $x = a\tan\theta$

例題 6(三角関数による置換)

$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ を求めよ。

解き方

$x = \sin\theta$ とおくと $dx = \cos\theta\,d\theta$ 。 $x$ が $0$ から $1$ まで動くとき、 $\theta$ は $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで動くとしてよく、この範囲では $\cos\theta \ge 0$ なので $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$ です。

\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \cdot \cos\theta\,d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta

= \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}

この定積分は、半径 $1$ の四分円の面積 $\dfrac{\pi}{4}$ を表しています。図形の意味と一致することを確認すると安心です。

定積分の部分積分

\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx

例題 7(定積分の部分積分)

$\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$ を求めよ。

解き方

$f(x) = x$ 、 $g'(x) = \sin x$ (つまり $g(x) = -\cos x$ )として

\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\,dx

第1項は $-\pi\cos\pi - 0 = \pi$ 、第2項は $\Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = 0$ なので

\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \pi

偶関数・奇関数の定積分

$f(x)$ が偶関数( $f(-x) = f(x)$ 、グラフが $y$ 軸対称)のとき

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^{a} f(x)\,dx

$f(x)$ が奇関数( $f(-x) = -f(x)$ 、グラフが原点対称)のとき

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0

積分区間が $-a$ から $a$ まで(原点対称)のときは、まず偶関数・奇関数に分けると計算が大幅に楽になります。

定積分の応用

定積分の最大の応用は、面積・体積・曲線の長さなどの「量」を求めることです。いずれも「細かく切って足し合わせる」という考え方が土台になっています。

面積

区間 $a \le x \le b$ でつねに $f(x) \ge g(x)$ のとき、2曲線 $y = f(x)$ 、 $y = g(x)$ と直線 $x = a$ 、 $x = b$ で囲まれた図形の面積は

S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx

「上の関数 − 下の関数」を積分します。どちらが上かはグラフをかいて確認しましょう。

例題 8(面積)

曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $y = x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

解き方

まず交点を求めます。 $\sqrt{x} = x$ の両辺を2乗して $x = x^2$ 、すなわち $x(x-1) = 0$ より $x = 0,\ 1$ (どちらも元の式を満たします)。

$0 \le x \le 1$ では $\sqrt{x} \ge x$ (たとえば $x = \dfrac{1}{4}$ で $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4}$ )なので

S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

体積

$x$ 軸に垂直な平面で切った断面積が $S(x)$ である立体の体積は

V = \int_a^b S(x)\,dx

特に、曲線 $y = f(x)$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は、断面が半径 $|f(x)|$ の円なので

V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx

例題 9(回転体の体積)

曲線 $y = \sqrt{x}$ ( $0 \le x \le 1$ )と $x$ 軸、直線 $x = 1$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

解き方

回転体の体積の公式で $\{f(x)\}^2 = (\sqrt{x})^2 = x$ だから

V = \pi\int_0^1 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}

$y^2$ を積分するので、 $\sqrt{\phantom{a}}$ を含む曲線の回転体はかえって計算が簡単になります。

曲線の長さ

曲線 $y = f(x)$ ( $a \le x \le b$ )の長さは

L = \int_a^b \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2}\,dx

曲線が媒介変数 $t$ で $x = f(t)$ 、 $y = g(t)$ ( $\alpha \le t \le \beta$ )と表されるときは

L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt

どちらも「短い線分の長さ(三平方の定理)を足し合わせる」という発想の式です。 $\sqrt{\phantom{a}}$ の中が完全平方の形に変形できる問題が出題の中心です。

§1不定積分

§2いろいろな関数の積分

§3定積分

§4定積分の応用

不定積分

いろいろな関数の積分

定積分

定積分の応用