答えと解説

どちらも $x^{\alpha}$ の形に直してから、公式 $\displaystyle\int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ を使います。

(1) $x\sqrt{x} = x^{\frac{3}{2}}$ なので

(2) $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ なので

指数が分数や負の数になっても公式は同じ形です。答えを微分して元に戻るか確かめる習慣をつけましょう。

中身が1次式のときの公式 $\displaystyle\int f(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}F(ax+b) + C$ を使います。

(1) $e^x$ の不定積分は $e^x$。中身 $3x$ の係数 $3$ で割って

(2) $\cos x$ の不定積分は $\sin x$。中身 $2x$ の係数 $2$ で割って

検算はどちらも微分です。$\left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right)' = \dfrac{1}{3} \cdot 3e^{3x} = e^{3x}$ のように、合成関数の微分で係数が打ち消されて元に戻れば正解です。

$(x^2+1)^3$ の中身 $x^2+1$ の微分 $2x$ が、外の $x$ とほぼ一致しているので置換積分を使います。

$t = x^2+1$ とおくと $dt = 2x\,dx$、すなわち $x\,dx = \dfrac{1}{2}dt$ です。

$t$ を元に戻して

検算: $\left\lbrace\dfrac{1}{8}(x^2+1)^4\right\rbrace' = \dfrac{1}{8} \cdot 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = x(x^2+1)^3$ で元に戻ります。展開してから積分するより圧倒的に速いので、「中身の微分が外にあるか」を最初にチェックしましょう。

$x \times e^x$ の形なので部分積分を使います。微分すると簡単になる $x$ を $f(x)$、$e^x$ を $g'(x)$(つまり $g(x) = e^x$)とします。

検算: $\{(x-1)e^x\}' = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = xe^x$ で元に戻ります。

部分積分では「$x$ の多項式は微分する側」「$e^x$ や三角関数は積分する側」に選ぶのが基本です。逆に選ぶと式がどんどん複雑になってしまいます。

積分区間が $-1$ から $1$ まで(原点対称)なので、偶関数・奇関数の性質を使います。

$x^3$ と $x$ は奇関数なので $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0$、$\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,dx = 0$。

$3x^2$ は偶関数なので

したがって

まともに全部積分しても同じ答えになりますが、対称な区間では「奇数次の項は消える」と見抜けると計算が半分以下になり、ミスも減ります。

(1) $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ と直すと、分母 $\cos x$ の微分は $-\sin x$ で、分子とちょうど $-1$ 倍の関係です。公式 $\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \log|g(x)| + C$ が使える形に整えて

(2) $\sin^2 x$ はそのまま積分できないので、半角公式 $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$ で次数を下げます。

(2) では $\cos 2x$ を積分するときに係数 $2$ で割るのを忘れがちです。$\sin 2x$ の係数が $\dfrac{1}{4}$ になることを確認しましょう。

(1) 分子の次数が分母の次数以上なので、まず割り算で次数を下げます。$x^2 = (x+1)(x-1) + 1$ より

したがって

(2) 分母を因数分解して部分分数分解します。$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ で

(右辺を通分すると $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x^2-1}$ で確認できます。)よって

「次数を下げる → 部分分数分解」の順で考えるのが分数関数の積分の定石です。

$\log x$ の微分が $\dfrac{1}{x}$ で、それが外に掛かっているので置換積分を使います。

$t = \log x$ とおくと $dt = \dfrac{1}{x}\,dx$。積分区間は、$x = 1$ のとき $t = \log 1 = 0$、$x = e$ のとき $t = \log e = 1$ と対応します。

定積分の置換では、積分区間の対応を書き換えれば $x$ に戻す必要がありません。「$t$ の式・$dt$・$t$ の区間」の3点セットを必ずそろえてから計算しましょう。

$\dfrac{1}{a^2+x^2}$ の形なので、$x = \tan\theta$ の置換が定石です。

$x = \tan\theta$ とおくと $dx = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$。積分区間は、$x = 0$ のとき $\theta = 0$、$x = 1$ のとき $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ と対応させます。

また、$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ なので

したがって

被積分関数がきれいに $1$ になるのがこの置換のすごいところです。$\sqrt{a^2-x^2}$ なら $x = a\sin\theta$、$\dfrac{1}{a^2+x^2}$ なら $x = a\tan\theta$、とセットで覚えましょう。

$\log x$ 単独の積分は、$\log x = 1 \cdot \log x$ とみて部分積分するのが定石です。$f(x) = \log x$、$g'(x) = 1$(つまり $g(x) = x$)として

第1項は $e\log e - 1 \cdot \log 1 = e - 0 = e$。第2項は

したがって

「$\log x$ を見たら、$1$ を掛けて部分積分」は数学IIIの必須テクニックです。不定積分の形 $\displaystyle\int \log x\,dx = x\log x - x + C$ ごと覚えてしまうのもよいでしょう。

まず交点を求めます。$e^x = e$ より $x = 1$。また $y$ 軸($x = 0$)上では、直線は $y = e$、曲線は $y = 1$ を通ります。

$0 \le x \le 1$ では $e^x \le e$(たとえば $x = 0$ で $1 < e$)なので、上が直線 $y = e$、下が曲線 $y = e^x$ です。「上 − 下」を積分して

$x = 1$ を代入すると $e - e = 0$、$x = 0$ を代入すると $0 - 1 = -1$。よって

グラフをかいて「どの区間で・どちらが上か」を確認してから立式するのが面積問題の鉄則です。答えが負になったら上下を取り違えています。

$e^x$ も $\sin x$ も何回微分しても消えないので、部分積分を2回行い、同じ形が再び現れることを利用します。求める積分を $I$ とおきます。

1回目の部分積分($e^x$ を積分する側にする):

2回目の部分積分(右の積分にもう一度同じ操作):

これを1回目の式に代入すると

$I$ について解いて

検算: 微分すると $\dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + \dfrac{1}{2}e^x(\cos x + \sin x) = e^x\sin x$ で元に戻ります。

途中でくじけず「同じ形が出たら方程式として解く」のがこのタイプの核心です。2回の部分積分で $e^x$ と三角関数の役割(微分する側・積分する側)を途中で入れ替えないよう注意しましょう。

回転体の体積の公式 $V = \pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$ を使います。

$\sin^2 x$ は半角公式で次数を下げます。

$x = \pi$ を代入すると $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sin 2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} - 0 = \dfrac{\pi}{2}$、$x = 0$ を代入すると $0$。よって

「回転体の体積 = $\pi \times (y^2$ の定積分$)$」という構造なので、$y^2$ の計算(ここでは半角公式)がそのまま体積計算の中心になります。$\pi$ を掛け忘れるミスが多いので最後に確認しましょう。

曲線の長さの公式 $L = \displaystyle\int_a^b \sqrt{1 + (y')^2}\,dx$ を使います。

まず微分すると

次に $1 + (y')^2$ を計算します。$e^x \cdot e^{-x} = 1$ に注意して

$\sqrt{\phantom{a}}$ の中が完全平方になりました。$e^x + e^{-x} > 0$ なので

したがって

この曲線(カテナリー、懸垂線)は曲線の長さの問題で最頻出です。「$1 + (y')^2$ が完全平方の形に変形できる」ことが問題成立のカギで、$-2$ が $+2$ に変わるところを丁寧に計算するのがポイントです。