答えと解説

公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を使います。$A$ を3の倍数の集合、$B$ を5の倍数の集合とします。

3の倍数は $3 \times 1$ から $3 \times 33 = 99$ まであるので

5の倍数は $5 \times 1$ から $5 \times 20 = 100$ まであるので

3の倍数かつ5の倍数、すなわち15の倍数は $15 \times 1$ から $15 \times 6 = 90$ まであるので

よって

$n(A \cup B) = 33 + 20 - 6 = 47$ 個

$n(A) + n(B)$ をそのまま足すと、15の倍数(15、30、…、90)を2回数えてしまいます。「かつ」の分を1回引くのを忘れないようにしましょう。

(1) 並べる順序を区別するので順列です。

${}_7 \mathrm{P}_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$ 通り

(2) 3桁の整数なので、百の位に $0$ は使えません。位ごとに順に決めていきます。

百の位: $0$ 以外の $1$、$2$、$3$、$4$ から選ぶので $4$ 通り

十の位: 残りの4個の数字($0$ も使える)から選ぶので $4$ 通り

一の位: 残りの3個から選ぶので $3$ 通り

積の法則により

$4 \times 4 \times 3 = 48$ 個

数字の並べ替えで $0$ が混ざっているときは、「最高位に $0$ が来ない」という条件を最初に処理するのが定石です。${}_5 \mathrm{P}_3 = 60$ から百の位が $0$ の ${}_4 \mathrm{P}_2 = 12$ 個を引いて $60 - 12 = 48$ 個、と検算もできます。

(1) 委員3人に順序はないので組合せです。

${}_8 \mathrm{C}_3 = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56$ 通り

(2) 男子の選び方と女子の選び方をそれぞれ組合せで数え、積の法則で掛け合わせます。

男子2人の選び方は

${}_5 \mathrm{C}_2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

女子2人の選び方は

${}_4 \mathrm{C}_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

よって

$10 \times 6 = 60$ 通り

「男子の選び方それぞれに対して女子の選び方がある」ので掛け算です。足し算にしないよう注意しましょう。

2個のさいころの目の出方は全部で

$6 \times 6 = 36$ 通り

で、これらは同様に確からしいです。目の和が $5$ になるのは

の $4$ 通りです。よって求める確率は

大小のさいころを区別するので、$(1,4)$ と $(4,1)$ は別に数えます。区別しないと「同様に確からしい」が崩れて、正しい確率が出せなくなります。

「少なくとも一方に6」の余事象は「どちらの目も6でない」なので、余事象の公式 $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ を使います。

どちらの目も6でない出方は、各さいころが $1$ 〜 $5$ の $5$ 通りずつなので

$5 \times 5 = 25$ 通り

全体は $36$ 通りだから

よって求める確率は

直接数える場合は「一方だけ6」が $5 \times 2 = 10$ 通り、「両方6」が $1$ 通りで合計 $11$ 通り。余事象で求めた答えと一致することを確認すると安心です。

(1) 円順列の公式 $(n-1)!$ を使います。回転して重なる座り方は同じとみなすので、1人の席を固定し、残り5人を並べると考えて

$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り

(2) 同じ記号を何回使ってもよいので重複順列です。4つの位置それぞれに3通りの選び方があるので、積の法則により

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 通り

$3^4$ を $4^3$ と取り違えるミスが多発します。「(種類数)の(個数)乗」、つまり位置の数だけ掛け算を繰り返す、と考えれば間違えません。

(1) 同じものを含む順列の公式 $\dfrac{n!}{p! \, q! \cdots}$ を使います。7文字のうち U が3個で、他の4文字はすべて異なるので

$\dfrac{7!}{3!} = \dfrac{5040}{6} = 840$ 通り

(2) 最短経路では、上へ1区画進む移動(↑)を3回、右へ1区画進む移動(→)を4回、合計7回の移動を行います。最短経路は「↑3個と→4個の並べ方」と1対1に対応するので、同じものを含む順列として

$\dfrac{7!}{3! \, 4!} = \dfrac{5040}{6 \times 24} = \dfrac{5040}{144} = 35$ 通り

「7回の移動のうち、↑を入れる3回を選ぶ」と考えて ${}_7 \mathrm{C}_3 = 35$ 通りとしても同じです。最短経路の問題は「矢印の並べ替え」に言い換えるのがポイントです。

(1) 部屋に名前があるので、順に選んでいけばそのまま答えになります。

A に入る2人の選び方は

${}_6 \mathrm{C}_2 = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

残り4人から B に入る2人を選ぶ方法は

${}_4 \mathrm{C}_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

残った2人は自動的に C に入るので $1$ 通り。積の法則により

$15 \times 6 \times 1 = 90$ 通り

(2) 今度は組に名前(区別)がありません。(1) の数え方では、同じ組分けが「どの組を A、B、C と呼ぶか」の $3! = 6$ 通り分だけ重複して数えられています。そこで

$\dfrac{90}{3!} = \dfrac{90}{6} = 15$ 通り

「組に区別があるか、人数の等しい組があるか」をまず確認するのが組分け問題の鉄則です。人数が全部異なる組分けなら、区別がなくても割る必要はありません。

玉をすべて区別して、組合せで場合の数を数えます。

7個から3個を取り出す方法は全部で

${}_7 \mathrm{C}_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

赤玉4個から2個を選ぶ方法は

${}_4 \mathrm{C}_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

白玉3個から1個を選ぶ方法は

${}_3 \mathrm{C}_1 = 3$ 通り

よって赤2個・白1個となる場合の数は $6 \times 3 = 18$ 通りで、求める確率は

同じ色の玉どうしも「区別して」数えるのが大切です。区別しないと同様に確からしくなくなり、正しい確率になりません。$18$ と $35$ に共通の約数はないので、これで既約分数です。

反復試行の確率の公式 ${}_n \mathrm{C}_r \, p^r (1-p)^{n-r}$ を使います。

1回の試行で1の目が出る確率は $p = \dfrac{1}{6}$、出ない確率は $1 - p = \dfrac{5}{6}$ です。

4回のうちどの2回で1の目が出るかの選び方は

${}_4 \mathrm{C}_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

よって求める確率は

約分は $150 = 6 \times 25$、$1296 = 6 \times 216$ から分母分子を $6$ で割りました。${}_4 \mathrm{C}_2$ を掛け忘れて $\dfrac{25}{1296}$ とするのが最も多いミスです。「どの回に起こるかの選び方」を必ず数えましょう。

a が当たる事象を $A$、b が当たる事象を $B$ とします。

(1) b が当たるのは「a 当たり かつ b 当たり」または「a はずれ かつ b 当たり」の2つの排反な場合です。乗法定理でそれぞれ計算します。

【場合1】 a 当たり・b 当たり: a のあと残り9本中当たり2本なので

【場合2】 a はずれ・b 当たり: a のあと残り9本中当たり3本なので

加法定理により

くじ引きでは、引く順番によらず当たる確率は同じになります(くじ引きの公平性)。

(2) a が当たった時点で、残りは9本、そのうち当たりは2本です。よって

定義式で確かめると、$P(A \cap B) = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$、$P(A) = \dfrac{3}{10}$ なので

と一致します。「(1) は無条件の確率、(2) は情報が加わった後の確率」という違いをはっきり意識しましょう。

「隣り合わない」並べ方は、先に隣り合ってよいもの(男子)を並べ、そのすき間に残り(女子)を入れる、という定石で数えます。

まず男子4人を1列に並べます。

$4! = 24$ 通り

男子4人(○で表します)が並ぶと、両端を含めて次の5か所のすき間(∨)ができます。

この5か所から3か所を選んで女子3人を並べれば、女子どうしは決して隣り合いません。場所を選んで並べるので順列で

${}_5 \mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り

積の法則により

$24 \times 60 = 1440$ 通り

逆の「女子3人が隣り合う」なら、女子3人をひとかたまりにして $5! \times 3! = 720$ 通り、と数えます。「隣り合う → かたまりにする」「隣り合わない → すき間に入れる」をセットで覚えましょう。なお両端のすき間も忘れずに数えることが大切です。

3人の手の出し方は全部で

$3^3 = 27$ 通り

で、これらは同様に確からしいです。

(1) 1人だけが勝つ場合を数えます。

誰が勝つか: $3$ 通り

その勝者がどの手で勝つか(グー・チョキ・パー): $3$ 通り

勝者の手が決まれば、負ける2人の手は自動的に1通りに決まります(たとえば勝者がグーなら残り2人はチョキ)。よって

$3 \times 3 = 9$ 通り

(2) あいこになるのは、「3人とも同じ手」または「3人ともすべて違う手」の場合です。

【場合1】 3人とも同じ手: グー・チョキ・パーの $3$ 通り

【場合2】 3人ともすべて違う手: 3種類の手を3人に割り当てる順列なので

$3! = 6$ 通り

これらは排反なので、あいこは $3 + 6 = 9$ 通り。よって

検算として、「2人が勝つ確率」も $3 \times 3 = 9$ 通りで $\dfrac{1}{3}$ となり、$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ で全事象と一致します。すべての場合の確率の和が $1$ になるかを確かめるのは、確率の強力な検算法です。

袋 A が選ばれる事象を $A$、赤玉が出る事象を $R$ とします。

3の倍数の目は $3$ と $6$ の2つなので

(1) 赤玉が出るのは「袋 A かつ赤」または「袋 B かつ赤」の排反な2つの場合です。乗法定理でそれぞれ求めます。

【場合1】 袋 A から赤玉: 袋 A の赤玉は5個中2個なので

【場合2】 袋 B から赤玉: 袋 B の赤玉は5個中4個なので

加法定理により

(2) 求めるのは条件付き確率 $P_R(A)$ です。定義式に (1) の結果を代入して

このように「結果(赤玉)から原因(どちらの袋か)をさかのぼる」確率の問題では、まず全体を場合に分けて $P(R)$ を求め、その中で目的の場合が占める割合を計算します。分母は $P(A)$ ではなく $P(R)$ であることに注意しましょう。