答えと解説

小さい素数から順に割っていきます。

約数の個数は、各素因数の指数に $1$ を足して掛け合わせます。

よって $24$ 個です。約数の総和は、素因数ごとの累乗の和の積です。

「指数に $1$ を足す」のを忘れるのが最も多いミスです。$+1$ は「その素因数を $0$ 個使う場合」を数えるためだと理解しておきましょう。

(1) 3の倍数の判定法は「各位の数字の和が3の倍数」です。$\square$ に入る数字を $d$ とすると、数字の和は

$9$ はすでに3の倍数なので、$9 + d$ が3の倍数となるのは $d$ が3の倍数のとき。よって

(2) 4の倍数の判定法は「下2桁が4の倍数」です。下2桁は $\square 6$、つまり $10d + 6$ です。$d = 0$ から順に調べると

このうち4の倍数は $16, 36, 56, 76, 96$ なので

判定法を使えば、実際に3桁の数を割り算しなくても済みます。(2)は「$10d + 6 = 8d + (2d + 6)$ で、$2d+6$ が4の倍数 $\Leftrightarrow$ $d$ が奇数」と計算で確かめることもできます。

それぞれ素因数分解します。

最大公約数は、共通する素因数を小さい方の指数で取った積です。

最小公倍数は、現れる素因数を大きい方の指数で取った積です。

検算として「2数の積 = 最大公約数 × 最小公倍数」を確かめると、$84 \times 126 = 10584$、$42 \times 252 = 10584$ で一致します。この関係式は検算に便利なので必ず覚えておきましょう。

大きい方を小さい方で割り、「割る数」と「余り」で同じ操作を繰り返します。

余りが $0$ になったので、最後に割った数 $23$ が最大公約数です。

実際、$391 = 23 \times 17$、$253 = 23 \times 11$ であり、$17$ と $11$ は互いに素なので、確かに最大公約数は $23$ です。互除法では「前の割る数 ÷ 前の余り」という形で機械的に式が続いていくことを意識すると、途中で組合せを間違えません。

(1) 2進法の各位は、右から $1$ の位、$2$ の位、$2^2$ の位、$2^3$ の位です。

(2) $2$ で割った余りを記録しながら商を割り続けます。

余りを下から順に並べて

検算: $32 + 8 + 4 + 1 = 45$ で一致します。10進法に戻す検算を必ず行う習慣をつけましょう。

$\sqrt{540n}$ が自然数になるのは、$540n$ がある自然数の2乗(平方数)になるときです。平方数は、素因数分解したときすべての素因数の指数が偶数になります。

まず $540$ を素因数分解します。

指数を見ると、$2$ は偶数(そのままでよい)、$3$ は奇数、$5$ も奇数です。奇数の指数を偶数にするには、$3$ と $5$ を1個ずつ補えばよいので、最小の $n$ は

このとき

となり、$\sqrt{8100} = 90$ で確かに自然数です。「平方数 $\Leftrightarrow$ すべての素因数の指数が偶数」という見方は、この型の問題の定石です。

互除法を実行します。

余りが $0$ になったので、最大公約数は $29$ です。

最小公倍数は「2数の積 = 最大公約数 × 最小公倍数」の関係から求めます。$899 = 29 \times 31$、$493 = 29 \times 17$ なので

素因数分解が難しい大きな数でも、互除法なら確実に最大公約数が求められます。最小公倍数まで聞かれたら $ab = GL$ の関係を使うのが最短ルートです。

まず整数解を1組見つけます。$x = 3$、$y = -2$ とすると

となり成り立ちます。元の方程式からこの式を辺々引くと

$5$ と $7$ は互いに素なので、$x - 3$ は $7$ の倍数です。$x - 3 = 7k$($k$ は整数)とおくと

より $y + 2 = -5k$。よって、$k$ を整数として

検算: $5(7k+3) + 7(-5k-2) = 35k + 15 - 35k - 14 = 1$ で、どんな $k$ でも成り立ちます。特殊解の見つけ方は「$y$ に $0, \pm 1, \pm 2, \dots$ を順に代入して $x$ が整数になるものを探す」のが手早い方法です。

(1) 5進法の各位は、右から $1$ の位、$5$ の位、$5^2$ の位です。

(2) $97$ を $2$ で割り続けて余りを記録します。

余りを下から順に並べて

検算: $64 + 32 + 1 = 97$ で一致します。5進法から2進法へ直接変換する方法はないので、必ず「いったん10進法を経由する」のがポイントです。

(1) 2進小数の各位は、小数第1位から順に $\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{2^2}$、$\dfrac{1}{2^3}$ の位です。

(2) 小数部分に $2$ を掛けて、整数部分を順に取り出します。

$0.375 \times 2 = 0.75$ … 整数部分は $0$
$0.75 \times 2 = 1.5$ … 整数部分は $1$
$0.5 \times 2 = 1.0$ … 整数部分は $1$

小数部分が $0$ になったので終了。取り出した整数部分を上から順に並べて

検算: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8} = 0.375$ で一致します。整数の変換(余りを下から読む)と小数の変換(整数部分を上から読む)で、読む向きが逆になることに注意しましょう。

最大公約数が $12$ なので、$a = 12a'$、$b = 12b'$($a'$ と $b'$ は互いに素で $a' < b'$)とおけます。このとき最小公倍数は $12a'b'$ と表せるので

より $a'b' = 20$ です。

$a'b' = 20$ かつ $a'$ と $b'$ が互いに素、$a' < b'$ となる組を探します。$20$ の分け方は

このうち $(2, 10)$ は最大公約数が $2$ で互いに素でないため不適。よって $(1, 20)$ と $(4, 5)$ が残り

検算: $48 = 2^4 \times 3$、$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ の最大公約数は $2^2 \times 3 = 12$、最小公倍数は $2^4 \times 3 \times 5 = 240$ で条件を満たします。「互いに素」の条件チェックを忘れて $(2, 10)$ を含めてしまうのが典型的なミスです。

係数が大きく特殊解が見つけにくいので、ユークリッドの互除法を利用します。まず $37$ と $13$ に互除法を適用すると

最大公約数は $1$(互いに素)なので、整数解が存在します。次に、この計算を余りについて解き直し、下から順に代入して $1$ を $37$ と $13$ で表します。

$2 = 13 - 11$ を代入して

$11 = 37 - 13 \times 2$ を代入して

よって $x = 6$、$y = -17$ が1組の解です(検算: $37 \times 6 - 13 \times 17 = 222 - 221 = 1$)。

元の方程式から $37 \times 6 + 13 \times (-17) = 1$ を辺々引くと

$37$ と $13$ は互いに素なので $x - 6 = 13k$($k$ は整数)とおけて、$y + 17 = -37k$。よって、$k$ を整数として

互除法を逆にたどるときは、「余り = 割られる数 − 割る数 × 商」の形に書き直してから下の式へ順に代入していきます。1行ごとに検算しながら進むのが確実です。

求める自然数を $n$ とすると、条件は整数 $a$、$b$ を用いて

と表せます。2つの式から $n$ を消去すると

すなわち

これは1次不定方程式です。特殊解を探すと、$a = 2$、$b = 3$ のとき $7 \times 2 - 5 \times 3 = 14 - 15 = -1$ で成り立ちます。辺々引いて

$7$ と $5$ は互いに素なので $a - 2 = 5k$($k$ は整数)、すなわち $a = 5k + 2$。これを $n = 7a + 3$ に代入して

$n$ は自然数で $100$ 以下なので、$k = 0, 1, 2$ が条件を満たし

検算: $17 = 7 \times 2 + 3$、$17 = 5 \times 3 + 2$ ✓。答えの数はどれも「$35$($7$ と $5$ の最小公倍数)おき」に並ぶことを確認すると安心です。実戦では、$7$ で割ると $3$ 余る数 $3, 10, 17, \dots$ を書き出して、$5$ で割ると $2$ 余る最初の数($17$)を見つける方法も有効です。

$n$ 進法の2桁の数を10進法に直す式を立てます。

どちらも同じ数 $N$ を表すので

整理すると

すなわち $b = 2a$ です。

次に、$a$、$b$ が満たすべき条件(数字として使える範囲)を整理します。

$a$ は5進法の先頭の数字なので $1 \le a \le 4$。さらに $a$ は3進法の数字でもあるので $a \le 2$。

$b$ は3進法の先頭の数字なので $1 \le b \le 2$。さらに $b$ は5進法の数字でもあるので $b \le 4$。

$b = 2a$ かつ $b \le 2$ より $a = 1$ に限られ、このとき $b = 2$。よって

検算: $7 = 5 + 2 = 12_{(5)}$、$7 = 2 \times 3 + 1 = 21_{(3)}$ で、確かに数字の順が入れかわっています。$n$ 進法の文章題では「各数字は $0$ 以上 $n-1$ 以下」「先頭の数字は $0$ でない」という条件を式にすることが決め手になります。