練習問題

$AB = 6$、$AC = 4$、$BC = 5$ の三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $BD$、$DC$ の長さを求めよ。

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$、重心を $G$ とする。中線 $AM$ の長さが $12$ のとき、線分 $AG$ と $GM$ の長さを求めよ。

(1) 円 $O$ の周上に3点 $A$、$B$、$P$ があり、弧 $AB$($P$ を含まない側)に対する中心角 $\angle AOB$ は $110^\circ$ である。円周角 $\angle APB$ を求めよ。
(2) 円 $O$ の周上に3点 $A$、$B$、$C$ があり、$BC$ は円 $O$ の直径で、$\angle ABC = 35^\circ$ である。$\angle ACB$ を求めよ。

四角形 $ABCD$ は円に内接しており、$\angle A = 95^\circ$、$\angle B = 80^\circ$ である。$\angle C$ と $\angle D$ を求めよ。

円の2つの弦 $AB$ と $CD$ が円の内部の点 $P$ で交わっている。$PA = 3$、$PB = 4$、$PC = 2$ のとき、線分 $PD$ の長さを求めよ。

$AB = 6$、$AC = 4$、$BC = 5$ の三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の $C$ 側の延長との交点を $E$ とする。線分 $CE$ の長さを求めよ。

三角形 $ABC$ の辺 $BC$、$CA$、$AB$ 上にそれぞれ点 $D$、$E$、$F$ があり、3直線 $AD$、$BE$、$CF$ は三角形の内部の1点で交わっている。$BD:DC = 2:3$、$CE:EA = 1:2$ のとき、$AF:FB$ を求めよ。

三角形 $ABC$ の辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点を $P$、辺 $AC$ を $2:1$ に内分する点を $Q$ とする。直線 $PQ$ と辺 $BC$ の $C$ 側の延長との交点を $R$ とするとき、$BR:RC$ を求めよ。

円に内接する三角形 $ABC$ があり、点 $A$ における円の接線上に点 $T$ を、直線 $AB$ に関して点 $C$ と反対側にとる。$\angle TAB = 55^\circ$、$\angle BAC = 60^\circ$ のとき、$\angle ACB$ と $\angle ABC$ を求めよ。

$\angle A = 70^\circ$ の鋭角三角形 $ABC$ について、次の角を求めよ。
(1) 外心を $O$ とするときの $\angle BOC$
(2) 内心を $I$ とするときの $\angle BIC$

円の外部の点 $P$ から円に接線を引き、接点を $T$ とする。また、$P$ を通る直線がこの円と2点 $A$、$B$ で交わり、$P$ に近い方が $A$ である。$PA = 4$、$AB = 5$ のとき、線分 $PT$ の長さを求めよ。

半径 $5$ の円 $O$ と半径 $3$ の円 $O'$ があり、中心間の距離を $d$ とする。
(1) 2円が2点で交わる(共通接線がちょうど2本になる)ような $d$ の値の範囲を求めよ。
(2) $d = 10$ のとき、共通外接線の長さ(2つの接点の間の距離)と共通内接線の長さをそれぞれ求めよ。

三角形 $ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$、辺 $CA$ の中点を $E$ とし、線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P$ とする。
(1) $AP:PD$ を求めよ。
(2) $BP:PE$ を求めよ。
(3) 三角形 $PBD$ の面積は三角形 $ABC$ の面積の何倍か。

サッカーボール型の凸多面体は、正五角形 $12$ 枚と正六角形 $20$ 枚の面からできている。この多面体の辺の数 $e$ と頂点の数 $v$ を求めよ。また、1つの頂点に集まる面の数を求めよ。