答えと解説: 数列 | 数学B | みんなの教科書

問 1基本

等差数列 $3, 7, 11, 15, \dots$ について、一般項 $a_n$ と第 $10$ 項を求めよ。

答え

$a_n = 4n - 1$ 、第 $10$ 項は $39$

解説

等差数列の一般項の公式 $a_n = a + (n-1)d$ を使います。

初項は $a = 3$ 、公差は $d = 7 - 3 = 4$ なので

a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1

第 $10$ 項は $n = 10$ を代入して

a_{10} = 4 \cdot 10 - 1 = 39

検算として $n = 1, 2$ を入れると $a_1 = 3$ 、 $a_2 = 7$ となり、もとの数列と一致します。一般項を求めたら、必ず最初の2〜3項で確かめましょう。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 2基本

初項 $2$ 、公差 $3$ の等差数列の初項から第 $20$ 項までの和を求めよ。

答え

$610$

解説

等差数列の和の公式 $S_n = \dfrac{n \lbrace 2a + (n-1)d \rbrace}{2}$ を使います。 $a = 2$ 、 $d = 3$ 、 $n = 20$ を代入して

S_{20} = \frac{20 \lbrace 2 \cdot 2 + 19 \cdot 3 \rbrace}{2} = 10 (4 + 57) = 10 \times 61 = 610

別解として、末項 $a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59$ を先に求め、 $S_n = \dfrac{n(a + l)}{2}$ で

S_{20} = \frac{20(2 + 59)}{2} = 10 \times 61 = 610

としても同じ答えになります。2つの公式は同じものなので、使いやすい方を選べば大丈夫です。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 3基本

初項 $3$ 、公比 $2$ の等比数列について、一般項 $a_n$ と第 $6$ 項を求めよ。

答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ 、第 $6$ 項は $96$

解説

等比数列の一般項の公式 $a_n = a r^{n-1}$ を使います。 $a = 3$ 、 $r = 2$ なので

a_n = 3 \cdot 2^{n-1}

第 $6$ 項は $n = 6$ を代入して

a_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \times 32 = 96

実際に書き並べても $3, 6, 12, 24, 48, 96$ となり一致します。指数が $n$ ではなく $n-1$ であること( $r$ を掛ける回数は項の番号より1回少ない)に注意しましょう。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 4基本

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ を計算せよ。

答え

$n(n+2)$

解説

Σを項ごとに分けて、基本公式 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ 、 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を使います。

\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n

= n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)

$n = 2$ で検算すると、もとの和は $3 + 5 = 8$ 、答えの式も $2 \times 4 = 8$ で一致します。定数 $1$ の和が $n$ になる( $1$ を $n$ 個足す)ところを忘れるミスが多いので注意しましょう。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 5基本

次の漸化式で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 1$ 、 $a_{n+1} = a_n + 3$
(2) $a_1 = 2$ 、 $a_{n+1} = 3a_n$

答え

(1) $a_n = 3n - 2$
(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

解説

(1) $a_{n+1} = a_n + 3$ は「次の項 = 前の項 + $3$ 」なので、 $\lbrace a_n \rbrace$ は初項 $1$ 、公差 $3$ の等差数列です。

a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 2

(2) $a_{n+1} = 3a_n$ は「次の項 = 前の項 × $3$ 」なので、 $\lbrace a_n \rbrace$ は初項 $2$ 、公比 $3$ の等比数列です。

a_n = 2 \cdot 3^{n-1}

漸化式を見たら、まず「足しているのか(等差)、掛けているのか(等比)」を見分けるのが基本です。(1) は $a_2 = 4 = 3 \cdot 2 - 2$ 、(2) は $a_2 = 6 = 2 \cdot 3^1$ で検算できます。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 6標準

第 $3$ 項が $10$ 、第 $7$ 項が $22$ の等差数列 $\lbrace a_n \rbrace$ について、一般項と、初項から第 $10$ 項までの和を求めよ。

答え

$a_n = 3n + 1$ 、和は $175$

解説

初項を $a$ 、公差を $d$ とおいて、条件を連立方程式にします。一般項の公式 $a_n = a + (n-1)d$ より

a_3 = a + 2d = 10, \quad a_7 = a + 6d = 22

辺々引くと

4d = 12 \quad \text{より} \quad d = 3

$a + 2d = 10$ に代入して $a = 10 - 6 = 4$ 。よって一般項は

a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 1

検算: $a_3 = 10$ 、 $a_7 = 22$ で条件と一致します。

初項から第 $10$ 項までの和は、和の公式で

S_{10} = \frac{10 \lbrace 2 \cdot 4 + 9 \cdot 3 \rbrace}{2} = 5(8 + 27) = 5 \times 35 = 175

「2つの項の値が与えられたら、初項と公差の連立方程式を作る」のが等差数列の定石です。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 7標準

第 $2$ 項が $6$ 、第 $5$ 項が $48$ の等比数列 $\lbrace a_n \rbrace$ がある。公比は実数とする。一般項と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ 、 $S_n = 3(2^n - 1)$

解説

初項を $a$ 、公比を $r$ とおくと、一般項の公式 $a_n = ar^{n-1}$ より

a_2 = ar = 6, \quad a_5 = ar^4 = 48

辺々割ると( $ar = 6 \ne 0$ なので割ってよい)

\frac{ar^4}{ar} = r^3 = \frac{48}{6} = 8

$r$ は実数だから $r = 2$ 。 $ar = 6$ に代入して $a = 3$ 。よって

a_n = 3 \cdot 2^{n-1}

検算: $a_2 = 3 \cdot 2 = 6$ 、 $a_5 = 3 \cdot 2^4 = 48$ で一致します。

和は $r = 2 \ne 1$ なので、和の公式 $S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ で

S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)

「2つの項が与えられたら辺々割って $r$ の累乗を作る」のが等比数列の定石です。 $r^3 = 8$ から実数解 $r = 2$ を選ぶ場面では、問題文の「公比は実数」という条件を根拠として明記しましょう。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 8標準

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を計算し、因数分解した形で答えよ。

答え

$\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

解説

まず中身を展開してから、Σの基本公式で項ごとに計算します。

\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k

基本公式を代入して

= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}

共通因数 $\dfrac{n(n+1)}{6}$ でくくります(第2項は $\dfrac{3n(n+1)}{6}$ と通分)。

= \frac{n(n+1)}{6} \lbrace (2n+1) + 3 \rbrace = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6}

$2n + 4 = 2(n+2)$ なので、 $2$ と $6$ を約分して

= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}

$n = 2$ で検算: もとの和は $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 8$ 、答えの式は $\dfrac{2 \cdot 3 \cdot 4}{3} = 8$ で一致します。Σの計算は展開するより、最後に「くくって因数分解した形」まで整理するのが採点でも計算ミス防止でも有利です。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 9標準

数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

答え

$a_n = n^2 - 2n + 2$

解説

隣り合う項の差(階差数列)をとると

2-1 = 1, \quad 5-2 = 3, \quad 10-5 = 5, \quad 17-10 = 7

となり、階差数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ 、すなわち $b_k = 2k - 1$ の等差数列です。

階差数列の公式より、 $n \ge 2$ のとき

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)

Σの部分を計算します。上端が $n-1$ であることに注意して

\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)^2

よって $n \ge 2$ のとき

a_n = 1 + (n-1)^2 = n^2 - 2n + 2

$n = 1$ のときもこの式は $1 - 2 + 2 = 1 = a_1$ となり成り立つので、すべての自然数 $n$ で

a_n = n^2 - 2n + 2

検算: $n = 4$ で $16 - 8 + 2 = 10$ 、 $n = 5$ で $25 - 10 + 2 = 17$ と一致します。階差数列の公式は $n \ge 2$ が前提なので、「 $n = 1$ でも成り立つか」の確認を答案に必ず書きましょう。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 10標準

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を計算せよ。

答え

$\dfrac{n}{2n+1}$

解説

分母が「差が $2$ の2数の積」なので、部分分数分解を使います。

\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)

右辺を通分すると $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)}$ となって左辺に戻るので、分解は正しいです。分母の差が $2$ なので係数 $\dfrac{1}{2}$ が付くことに注意します。

この形で和をとると、隣どうしが打ち消し合います。

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left\lbrace \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right\rbrace

途中がすべて消えて

= \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}

$n = 2$ で検算: もとの和は $\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ 、答えの式も $\dfrac{2}{5}$ で一致します。分解の係数( $\dfrac{1}{2}$ )の付け忘れが最も多いミスです。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 11標準

$a_1 = 1$ 、 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めよ。

答え

$a_n = 2^n - 1$

解説

$a_{n+1} = pa_n + q$ 型なので、特性方程式を使います。 $\alpha = 2\alpha + 1$ を解くと

-\alpha = 1 \quad \text{より} \quad \alpha = -1

漸化式の両辺から $\alpha = -1$ を引く、つまり両辺に $1$ を加えて変形します。

a_{n+1} + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)

よって数列 $\lbrace a_n + 1 \rbrace$ は、初項 $a_1 + 1 = 2$ 、公比 $2$ の等比数列です。したがって

a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n

a_n = 2^n - 1

検算: $a_1 = 2 - 1 = 1$ 、 $a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 = 2^2 - 1$ 、 $a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 = 2^3 - 1$ で一致します。変形後の式 $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ を展開して元の漸化式に戻ることを確認してから先へ進むと、符号ミスを防げます。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 12発展

$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ を計算せよ。

答え

$S = (n-1) \cdot 2^n + 1$

解説

各項が(等差)×(等比)の形なので、 $S$ から公比 $2$ を掛けた $2S$ を引く定石を使います。

S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1}

2S = \qquad\; 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n

$2S$ を1つ右にずらして書き、上から下を引くと、 $2^{k-1}$ の項の係数が $(k) - (k-1) = 1$ になります。

S - 2S = (1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - n \cdot 2^n

かっこの中は初項 $1$ 、公比 $2$ 、項数 $n$ の等比数列の和なので

1 + 2 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1

よって

-S = (2^n - 1) - n \cdot 2^n

両辺に $-1$ を掛けて

S = n \cdot 2^n - 2^n + 1 = (n-1) \cdot 2^n + 1

$n = 2$ で検算: もとの和は $1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 5$ 、答えの式は $1 \cdot 4 + 1 = 5$ で一致します( $n = 3$ でも $1 + 4 + 12 = 17 = 2 \cdot 8 + 1$ で一致)。 $S - rS$ を作るとき、最後の $-n \cdot 2^n$ の項を書き忘れるミスが非常に多いので、必ず項の対応を縦にそろえて書きましょう。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 13発展

$a_1 = 1$ 、 $a_{n+1} = 2a_n + 2^n$ で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めよ。

答え

$a_n = n \cdot 2^{n-1}$

解説

右辺に $2^n$ があるタイプは、両辺を $2^{n+1}$ で割って新しい数列を作るのが定石です。

\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{1}{2}

そこで $b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$ とおくと

b_{n+1} = b_n + \frac{1}{2}

となり、 $\lbrace b_n \rbrace$ は初項 $b_1 = \dfrac{a_1}{2} = \dfrac{1}{2}$ 、公差 $\dfrac{1}{2}$ の等差数列です。よって

b_n = \frac{1}{2} + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}

$b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$ を戻して

a_n = 2^n \cdot \frac{n}{2} = n \cdot 2^{n-1}

検算: $a_1 = 1 \cdot 2^0 = 1$ 。 $a_2 = 2a_1 + 2^1 = 4$ で、式でも $2 \cdot 2^1 = 4$ 。 $a_3 = 2 \cdot 4 + 2^2 = 12$ で、式でも $3 \cdot 2^2 = 12$ と一致します。「 $p^n$ の項がある漸化式は $p^{n+1}$ で割る」と覚えておきましょう。割る数を $2^n$ にしてしまうと係数が残ってうまくいかないので、必ず添え字に合わせて $2^{n+1}$ で割ります。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問

問 14発展

すべての自然数 $n$ について、 $7^n - 1$ が $6$ の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。

答え

数学的帰納法による(解説参照)。 $7^{k+1} - 1 = 7(7^k - 1) + 6$ の変形がポイント。

解説

数学的帰納法の2つのステップで証明します。

(I) $n = 1$ のとき

7^1 - 1 = 6

は $6$ の倍数なので成り立ちます。

(II) $n = k$ のとき成り立つと仮定します。すなわち、ある整数 $m$ を用いて

7^k - 1 = 6m

と表せると仮定します。このとき $n = k+1$ について

7^{k+1} - 1 = 7 \cdot 7^k - 1

帰納法の仮定が使える形を作るため、 $7 \cdot 7^k = 7(7^k - 1) + 7$ と変形すると

7^{k+1} - 1 = 7(7^k - 1) + 7 - 1 = 7(7^k - 1) + 6

仮定 $7^k - 1 = 6m$ を代入して

7^{k+1} - 1 = 7 \cdot 6m + 6 = 6(7m + 1)

$7m + 1$ は整数なので、 $7^{k+1} - 1$ も $6$ の倍数です。よって $n = k+1$ のときも成り立ちます。

(I)、(II) より、すべての自然数 $n$ について $7^n - 1$ は $6$ の倍数です。(証明終)

倍数の証明では、「仮定を $6m$ の形で式にする」ことと、「 $n = k+1$ の式を(仮定の式)×(何か)+(余りの調整)の形に変形する」ことが核心です。検算として $n = 2$ を見ると $7^2 - 1 = 48 = 6 \times 8$ で、確かに $6$ の倍数になっています。

ChatGPTで質問 Claudeで質問 Geminiで質問