練習問題

等差数列 $3, 7, 11, 15, \dots$ について、一般項 $a_n$ と第 $10$ 項を求めよ。

初項 $2$、公差 $3$ の等差数列の初項から第 $20$ 項までの和を求めよ。

初項 $3$、公比 $2$ の等比数列について、一般項 $a_n$ と第 $6$ 項を求めよ。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ を計算せよ。

次の漸化式で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 1$、 $a_{n+1} = a_n + 3$
(2) $a_1 = 2$、 $a_{n+1} = 3a_n$

第 $3$ 項が $10$、第 $7$ 項が $22$ の等差数列 $\lbrace a_n \rbrace$ について、一般項と、初項から第 $10$ 項までの和を求めよ。

第 $2$ 項が $6$、第 $5$ 項が $48$ の等比数列 $\lbrace a_n \rbrace$ がある。公比は実数とする。一般項と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を計算し、因数分解した形で答えよ。

数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を計算せよ。

$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 2a_n + 1$ で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めよ。

$S = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k-1}$ を計算せよ。

$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 2a_n + 2^n$ で定まる数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めよ。

すべての自然数 $n$ について、$7^n - 1$ が $6$ の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ。