練習問題

$z = 3 + 4i$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $\overline{z}$
(2) $z + \overline{z}$ と $z\overline{z}$
(3) $|z|$

次の複素数を極形式で表せ。ただし偏角 $\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。
(1) $1 + i$
(2) $-\sqrt{3} + i$

$z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$、$z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$ のとき、$z_1 z_2$ と $\dfrac{z_1}{z_2}$ を $a + bi$ の形で求めよ。

次の値を求めよ。
(1) $\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)^6$
(2) $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{-3}$

2点 $\mathrm{A}(1 + 2i)$、$\mathrm{B}(4 - 2i)$ について、次を求めよ。
(1) 距離 $\mathrm{AB}$
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ の中点を表す複素数

次の値を求めよ。
(1) $(1 + \sqrt{3}\,i)^6$
(2) $(1 - i)^{10}$

方程式 $z^3 = 8i$ を解け。

等式 $|z - 1| = 2|z + 2|$ を満たす点 $z$ 全体は、どのような図形を描くか。

点 $z = 2 + i$ を、原点のまわりに次の角だけ回転した点を表す複素数を求めよ。
(1) $\dfrac{\pi}{2}$
(2) $\dfrac{\pi}{3}$

3点 $\mathrm{A}(2 + i)$、$\mathrm{B}(4 + 5i)$、$\mathrm{C}(-3i)$ について、次の点を表す複素数を求めよ。
(1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $1:3$ に内分する点
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ を $3:1$ に外分する点
(3) 三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心

3点 $\mathrm{A}(1 + i)$、$\mathrm{B}(2 + 3i)$、$\mathrm{C}(-1 + 2i)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ はどのような三角形か。

点 $z$ が円 $|z - 1| = 1$ 上を動くとき($z \ne 0$)、$w = \dfrac{1}{z}$ で表される点 $w$ はどのような図形を描くか。

2点 $\mathrm{A}(1 + i)$、$\mathrm{B}(3 + 2i)$ に対して、三角形 $\mathrm{ABC}$ が正三角形になるような点 $\mathrm{C}(\gamma)$ をすべて求めよ。

$z = \cos\dfrac{2\pi}{5} + i\sin\dfrac{2\pi}{5}$ とする。
(1) $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ を示せ。
(2) $t = z + \dfrac{1}{z}$ の値を求め、$\cos\dfrac{2\pi}{5}$ の値を求めよ。