平面上の曲線

数学Iで学んだ放物線 $y = ax^2$ を、ここでは「距離」を使って定義し直します。平面上で、定点 $\mathrm{F}$ と、$\mathrm{F}$ を通らない定直線 $\ell$ からの距離が等しい点の軌跡を放物線といいます。定点 $\mathrm{F}$ を焦点、定直線 $\ell$ を準線と呼びます。

$y^2 = 4px$ が導かれる理由を確認しましょう。点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ が焦点 $\mathrm{F}(p,\ 0)$ と準線 $x = -p$ から等距離にあるとすると

両辺を2乗して展開すると

整理して $y^2 = 4px$ が得られます。「焦点までの距離 = 準線までの距離」という定義そのものを式にしただけ、というのがポイントです。

2つの定点 $\mathrm{F}$、$\mathrm{F}'$ からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円といい、$\mathrm{F}$、$\mathrm{F}'$ を焦点といいます。2本のピンに糸をかけ、糸をぴんと張ったまま鉛筆を動かすと楕円が描ける、というイメージです。

楕円は円を一方向に拡大・縮小した図形とみることもできます。円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上の各点の $y$ 座標を $\dfrac{b}{a}$ 倍すると、楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ が得られます。この見方は、楕円の面積や媒介変数表示を考えるときに役立ちます。

2つの定点 $\mathrm{F}$、$\mathrm{F}'$ からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、$\mathrm{F}$、$\mathrm{F}'$ を焦点といいます。楕円が「和が一定」だったのに対し、双曲線は「差が一定」です。曲線は2つの部分に分かれ、遠くでは2本の直線(漸近線)に限りなく近づいていきます。

楕円では $c = \sqrt{a^2 - b^2}$(引き算)、双曲線では $c = \sqrt{a^2 + b^2}$(足し算)です。双曲線の焦点は頂点よりも外側にあるので $c > a$、つまり足し算になる、と図をイメージして覚えると混同しません。

放物線・楕円・双曲線をまとめて2次曲線といいます。曲線 $F(x,\ y) = 0$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の方程式は、$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ におき換えた $F(x-p,\ y-q) = 0$ です。逆に、$x$、$y$ の2次方程式が与えられたら、平方完成して標準形に直すことで、どんな曲線かを読み取れます。

曲線上にない点から引いた接線や、傾きが指定された接線を求めるときは、直線の方程式を曲線の式に代入してできる2次方程式の判別式 $D = 0$(重解をもつ)を使うのが定石です。

曲線上の点の座標 $(x,\ y)$ を、別の変数 $t$ や $\theta$ を用いて

の形で表すことを媒介変数表示といい、$t$ を媒介変数(パラメータ)といいます。たとえば円 $x^2 + y^2 = r^2$ は、$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ と表せます。

次に極座標です。平面上に定点 $\mathrm{O}$(極)と半直線 $\mathrm{OX}$(始線)を定めると、点 $\mathrm{P}$ の位置は、距離 $r = \mathrm{OP}$ と、始線から測った角 $\theta$ の組 $(r,\ \theta)$ で表せます。これを極座標といい、これまで使ってきた $(x,\ y)$ を直交座標といいます。