答えと解説

放物線の標準形 $y^2 = 4px$ と比べます。

より $p = 2$ です。標準形 $y^2 = 4px$ の焦点は $(p,\ 0)$、準線は $x = -p$ なので

焦点は $(2,\ 0)$、準線は $x = -2$。

$y^2 = \bigcirc x$ 型は横に開く放物線、$x^2 = \bigcirc y$ 型は縦に開く放物線です。まず「$4p =$ 係数」と置いて $p$ を求める、という手順を機械的に実行すればミスしません。

$a^2 = 9$、$b^2 = 4$ で、$a^2 > b^2$ なので焦点は $x$ 軸上にあります。

楕円の焦点距離の公式 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ より

よって焦点は $(\sqrt{5},\ 0)$ と $(-\sqrt{5},\ 0)$ です。

$a = 3$、$b = 2$ なので、長軸の長さは $2a = 6$、短軸の長さは $2b = 4$ です。

「長軸・短軸の長さ」は $a$、$b$ そのものではなく $2a$、$2b$(直径にあたる長さ)であることに注意しましょう。

$a^2 = 4$、$b^2 = 9$ です。双曲線では $c = \sqrt{a^2 + b^2}$(楕円と違って足し算)なので

よって焦点は $(\sqrt{13},\ 0)$、$(-\sqrt{13},\ 0)$。

漸近線は $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ より、$a = 2$、$b = 3$ を代入して

楕円は $c^2 = a^2 - b^2$、双曲線は $c^2 = a^2 + b^2$。この符号の違いが最頻出の混同ポイントなので、必ず「双曲線の焦点は頂点より外側だから $c$ は大きい」とイメージで確認しましょう。

焦点が $y$ 軸上の $(0,\ p)$、準線が $y = -p$ の放物線の標準形は $x^2 = 4py$ です。

今回は $p = 3$ なので

定義から確かめることもできます。点 $(x,\ y)$ から焦点 $(0,\ 3)$ までの距離と準線 $y = -3$ までの距離が等しいので

両辺を2乗して

整理すると $x^2 = 12y$ となり、一致します。公式を忘れても定義から導けるようにしておくと安心です。

媒介変数 $\theta$ を消去します。三角関数の関係式 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を使うのが定石です。

$x = 3\cos\theta$、$y = 3\sin\theta$ より

これを $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入して

両辺を $9$ 倍して

これは中心が原点、半径 $3$ の円です。$\theta$ がすべての実数値をとるとき、点は円全体を動きます。

焦点が $x$ 軸上にあるので、求める楕円は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$($a > b > 0$)とおけます。

長軸の長さが $10$ なので $2a = 10$、すなわち

焦点が $(\pm 3,\ 0)$ なので $c = 3$。楕円では $c^2 = a^2 - b^2$ だから

よって求める方程式は

検算として、この楕円で $c = \sqrt{25 - 16} = 3$、長軸 $2a = 10$ となり、条件と一致します。「長軸の長さ $= 2a$」を $a$ と取り違えないよう注意しましょう。

焦点が $x$ 軸上にあるので、求める双曲線は $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$($a > 0$、$b > 0$)とおけます。

条件を式にすると、漸近線 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$ より

焦点より $c = 5$ で、双曲線では $c^2 = a^2 + b^2$ だから

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}$ より $a = 3t$、$b = 4t$($t > 0$)とおくと

よって $t = 1$、つまり $a = 3$、$b = 4$。求める方程式は

検算: $c = \sqrt{9+16} = 5$、漸近線 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ で条件と一致します。比の条件は「$a = 3t$、$b = 4t$ とおく」と処理がきれいになります。

$x$ と $y$ のそれぞれについて平方完成し、標準形に直します。

両辺を $4$ で割って

これは楕円 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものです。

もとの楕円は $a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので $c = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$ で、焦点は $(\pm\sqrt{3},\ 0)$。これを同じだけ平行移動して、焦点は

平方完成のとき、$4(y^2 - 2y)$ を $4(y-1)^2 - 4$ とするところ(くくり出した $4$ を引く数にも掛ける)が計算ミスの多発地点です。

まず点が楕円上にあることを確認します。

確かに楕円上の点です。楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線の公式

に $x_1 = 2$、$y_1 = \sqrt{2}$、$a^2 = 8$、$b^2 = 4$ を代入して

両辺を $4$ 倍して

接線の公式は「$x^2$ の一方を $x_1$ に、$y^2$ の一方を $y_1$ に置き換える」と覚えます。接点の座標を接線の式に代入して成り立つか($2 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4$ ✓)で検算できます。

$\cos\theta$ と $\sin\theta$ について解き、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ で $\theta$ を消去します。

これを $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入して

これは楕円 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ を $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した楕円で、中心は $(1,\ -2)$ です。

$4 < 9$ なので長軸は $y$ 軸方向(縦長)で、長軸の長さは $6$、短軸の長さは $4$ です。定数が足されている媒介変数表示は、「まず $\cos\theta = \cdots$、$\sin\theta = \cdots$ の形に整理する」のがポイントです。

極座標と直交座標の関係式 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、$r^2 = x^2 + y^2$ を使います。

右辺に $\cos\theta$ が単独であるので、両辺に $r$ を掛けて $r\cos\theta$ の形を作ります。

$r^2 = x^2 + y^2$、$r\cos\theta = x$ を代入して

$x$ について平方完成すると

これは中心 $(1,\ 0)$、半径 $1$ の円です。極方程式を直交座標に直すときは、「両辺に $r$ を掛ける(または割る)ことで $r^2$、$r\cos\theta$、$r\sin\theta$ のかたまりを作る」のが基本の型です。

点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,\ y)$ とおき、条件を式にします。$\mathrm{P}$ から $\mathrm{F}$ までの距離と直線 $x = 4$ までの距離の比が $1 : 2$ なので

比の式を「外項の積 = 内項の積」で書き直すと

両辺を2乗して

左辺と右辺をそれぞれ展開すると

$-8x$ が両辺で消えて

両辺を $12$ で割って

これは楕円です。検算すると、この楕円は $c = \sqrt{4-3} = 1$ で焦点の1つが $(1,\ 0) = \mathrm{F}$ となり、つじつまが合います。このように「焦点からの距離と準線からの距離の比(離心率)」が $1$ より小さいと楕円、$1$ だと放物線、$1$ より大きいと双曲線になります。2乗する前に係数 $2$ を掛ける位置(距離が短い方に掛ける)を間違えないようにしましょう。

接する条件は「連立してできる2次方程式が重解をもつ($D = 0$)」です。

$y = x + k$ を楕円の式に代入します。

両辺を $4$ 倍して

この $x$ の2次方程式が重解をもてばよいので、判別式を $D$ とすると

$D = 0$ より $-4k^2 + 20 = 0$、すなわち $k^2 = 5$ となるので

図形的にも、傾き $1$ の直線を上下に平行移動していくと、楕円の上側と下側でちょうど2回接するので、$k$ の値が正負1つずつ出るのは自然です。$D$ ではなく $\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac$ を使うと計算が軽くなります。

まず分母をはらいます。

$r\cos\theta = x$ を代入して

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ なので、両辺を2乗すると($r \ge 0$ より $1 + x \ge 0$ の範囲で)

$x^2$ が消えて

これは放物線 $y^2 = 2x$ を $x$ 軸方向に $-\dfrac{1}{2}$ だけ平行移動した放物線です。

$y^2 = 2x$ は $4p = 2$ より $p = \dfrac{1}{2}$ なので、移動後の頂点は $\left(-\dfrac{1}{2},\ 0\right)$、焦点は $\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2},\ 0\right) = (0,\ 0)$、準線は $x = -1$ です。焦点がちょうど極(原点)に一致していることに注目してください。実は $r = \dfrac{a}{1 - \cos\theta}$ 型の極方程式は「焦点を極とする2次曲線」を表す重要な形です。2乗の操作では $r = 1 + x \ge 0$ という条件が隠れていることにも触れておくと、答案として完璧です。