ベクトル

ベクトルの基本

「東へ 3 km」のように、大きさだけでなく向きも持つ量をベクトルといい、 $\vec{a}$ や $\overrightarrow{AB}$ のように表します。 $\overrightarrow{AB}$ は点 A から点 B へ向かう矢印で、その長さ(大きさ)を $|\overrightarrow{AB}|$ と書きます。向きと大きさが両方等しいベクトルは、位置が違っても「等しい」とみなします。ここがベクトルの大事な約束です。

ベクトルの加法・減法・実数倍

加法: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (矢印をつなぐ)

減法: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ (終点 − 始点)

実数倍: $k\vec{a}$ は、 $k>0$ なら同じ向きに $k$ 倍、 $k<0$ なら逆向きに $|k|$ 倍

逆ベクトル: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ 、零ベクトル: $\vec{a}+(-\vec{a}) = \vec{0}$

座標平面では、ベクトルを成分で表せます。 $\vec{a} = (a_1,\ a_2)$ は「 $x$ 方向に $a_1$ 、 $y$ 方向に $a_2$ 進む」ことを意味し、計算がぐっと楽になります。

成分による計算

$\vec{a} = (a_1,\ a_2)$ 、 $\vec{b} = (b_1,\ b_2)$ のとき

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2)$ 、 $k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2)$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

点 $\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$ 、 $\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$ に対して $\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1,\ b_2 - a_2)$ (終点 − 始点)

例題 1(成分計算と平行条件)

$\vec{a} = (2,\ 1)$ 、 $\vec{b} = (-1,\ 3)$ のとき、 $2\vec{a} - \vec{b}$ とその大きさを求めよ。また、 $\vec{c} = (4,\ 2)$ は $\vec{a}$ と平行かどうか調べよ。

解き方

成分ごとに計算します。

2\vec{a} - \vec{b} = (4,\ 2) - (-1,\ 3) = (5,\ -1)

|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}

平行条件は「 $\vec{c} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ がある」ことです。 $\vec{c} = (4,\ 2) = 2(2,\ 1) = 2\vec{a}$ なので、 $\vec{c}$ は $\vec{a}$ と平行です。

平行条件は成分でも表せます。 $\vec{a} = (a_1,\ a_2)$ と $\vec{b} = (b_1,\ b_2)$ (ともに $\vec{0}$ でない)が平行であるための条件は

a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0

です。「たすき掛けして引くと $0$ 」と覚えておくと、 $k$ を持ち出さずに判定できます。

ベクトルの内積

2つのベクトルの「なす角」の情報を取り出すために、内積という演算を定義します。内積の結果はベクトルではなく実数(数)になることに注意してください。

内積の定義と成分表示

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ ( $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ )とするとき

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos\theta

成分では、 $\vec{a} = (a_1,\ a_2)$ 、 $\vec{b} = (b_1,\ b_2)$ のとき

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

定義式を $\cos\theta$ について解けば、なす角が求められます。

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\,\sqrt{b_1^2+b_2^2}}

内積が正なら $\theta$ は鋭角、負なら鈍角、 $0$ なら直角です。符号を見るだけで角の種類がわかるのが内積の便利なところです。

垂直条件と内積の性質

$\vec{a} \ne \vec{0}$ 、 $\vec{b} \ne \vec{0}$ のとき

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

また、次の性質が成り立ちます。

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ 、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ 、 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

例題 2(なす角)

$\vec{a} = (1,\ 3)$ 、 $\vec{b} = (2,\ 1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

解き方

まず内積と大きさを計算します。

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 3 \times 1 = 5

|\vec{a}| = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}

よって

\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲でこれを満たすのは $\theta = 45^\circ$ です。

内積の性質を使うと、 $|\vec{a}+\vec{b}|$ のような「和の大きさ」も扱えます。大きさはいったん2乗して

|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2

と展開するのが定石です。文字式の $(a+b)^2$ の展開とそっくりですが、真ん中の項が内積になっている点だけが違います。

位置ベクトル

基準となる点 O を1つ決めると、平面上の点 A の位置は $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ というベクトルで指定できます。この $\vec{a}$ を点 A の位置ベクトルといい、「 $\mathrm{A}(\vec{a})$ 」と書きます。点を「O からの矢印」で表すことで、図形の問題を計算で処理できるようになります。

内分点・外分点の位置ベクトル

$\mathrm{A}(\vec{a})$ 、 $\mathrm{B}(\vec{b})$ に対して、線分 AB を $m:n$ に内分する点 P、外分する点 Q の位置ベクトルは

\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}, \qquad \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}

特に中点は $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ 、 $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心 G は

\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}

内分点の公式は「分子で $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数がたすき掛けの位置( $\vec{a}$ に遠い方の $n$ 、 $\vec{b}$ に近い方の $m$ )になる」と覚えます。 $m:n = 1:1$ を代入すると中点の公式になることを確認しておくと、覚え間違いに気づけます。

例題 3(内分点と重心)

$\mathrm{A}(\vec{a})$ 、 $\mathrm{B}(\vec{b})$ 、 $\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ で、辺 BC を $2:1$ に内分する点を D とする。 $\overrightarrow{AD}$ を $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ で表せ。

解き方

D は BC を $2:1$ に内分するので、内分点の公式より

\vec{d} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}

$\overrightarrow{AD}$ は「終点 − 始点」なので

\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} - \vec{a} = \frac{-3\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}}{3}

3点が一直線上にある条件

異なる3点 A、B、C が一直線上にあるための条件は、

\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}

となる実数 $k$ が存在することです。「A から見た2本のベクトルが平行(実数倍)」と言い換えるのがポイントです。

ベクトルの図形への応用

2直線の交点の位置ベクトルを求める問題は、ベクトルの応用で最も重要なテーマです。カギになるのが「1次独立」という考え方です。

1次独立と係数比較

$\vec{a} \ne \vec{0}$ 、 $\vec{b} \ne \vec{0}$ で、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行でないとき( $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ は1次独立)、平面上のどんなベクトルも $s\vec{a} + t\vec{b}$ の形にただ1通りに表せます。したがって

s\vec{a} + t\vec{b} = s'\vec{a} + t'\vec{b} \iff s = s',\ t = t'

つまり、両辺の係数を比較してよいということです。

例題 4(交点の位置ベクトル)

$\triangle \mathrm{OAB}$ において、辺 OA を $2:1$ に内分する点を C、辺 OB の中点を D とし、線分 AD と線分 BC の交点を P とする。 $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ 、 $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、 $\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ で表せ。

解き方

$\overrightarrow{OC} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$ 、 $\overrightarrow{OD} = \dfrac{1}{2}\vec{b}$ です。

P は線分 AD 上にあるので、 $\mathrm{AP}:\mathrm{PD} = s:(1-s)$ とおくと

\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + s \cdot \frac{1}{2}\vec{b}

P は線分 BC 上にもあるので、 $\mathrm{BP}:\mathrm{PC} = t:(1-t)$ とおくと

\overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{b} + t \cdot \frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2t}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}

$\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ は1次独立なので係数を比較して

1-s = \frac{2t}{3}, \qquad \frac{s}{2} = 1-t

第2式から $s = 2 - 2t$ 。第1式に代入すると

1 - (2-2t) = \frac{2t}{3} \quad \Longrightarrow \quad 2t - 1 = \frac{2t}{3} \quad \Longrightarrow \quad \frac{4t}{3} = 1 \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{3}{4}

よって $s = 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}$ となり

\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}

直線 AB 上の点(係数の和が 1)

点 P が直線 AB 上にある

\iff \overrightarrow{OP} = s\,\overrightarrow{OA} + t\,\overrightarrow{OB}, \quad s + t = 1

さらに $s \ge 0$ 、 $t \ge 0$ を加えると、P は線分 AB 上の点になります。「係数の和が $1$ 」は交点問題の別解としても強力です。

たとえば例題 4 は、 $\overrightarrow{OP} = k\vec{a} + l\vec{b}$ とおき、「P が直線 AD 上 $\iff$ $\vec{a}$ と $\overrightarrow{OD} = \dfrac{1}{2}\vec{b}$ で表したときの係数の和が $1$ 、すなわち $k + 2l = 1$ 」のように2つの式を立てても解けます。どちらの方法も使えるようにしておきましょう。

空間ベクトル

空間のベクトルは、成分が3つになるだけで、平面とほとんど同じルールで計算できます。 $z$ 成分が増えても、加法・実数倍・内積の考え方はそのまま通用します。

空間ベクトルの成分計算

$\vec{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)$ 、 $\vec{b} = (b_1,\ b_2,\ b_3)$ のとき

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3)$ 、 $k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2,\ ka_3)$

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

なす角・垂直条件( $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ )も平面と同じ式で求められます。

例題 5(空間ベクトルの内積)

$\vec{a} = (1,\ -2,\ 2)$ 、 $\vec{b} = (2,\ 2,\ 1)$ について、 $|\vec{a}|$ と $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求め、 $\vec{a} \perp \vec{b}$ かどうか調べよ。

解き方

大きさは

|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3

内積は

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + (-2) \times 2 + 2 \times 1 = 2 - 4 + 2 = 0

内積が $0$ で、どちらも $\vec{0}$ ではないので、 $\vec{a} \perp \vec{b}$ です。

同一平面上にある条件

一直線上にない3点 A、B、C の定める平面上に点 P があるための条件は、

\overrightarrow{AP} = s\,\overrightarrow{AB} + t\,\overrightarrow{AC}

となる実数 $s$ 、 $t$ が存在することです。位置ベクトルで書くと、 $\overrightarrow{OP} = r\,\overrightarrow{OA} + s\,\overrightarrow{OB} + t\,\overrightarrow{OC}$ かつ $r+s+t = 1$ とも表せます。直線のときの「係数の和が $1$ 」の空間版です。

空間では、1次独立なベクトルが3本( $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ が同一平面上にない)必要で、空間のどんなベクトルも $s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}$ の形にただ1通りに表せます。平面のときの係数比較が、空間では3つの係数の比較になるだけです。

§1ベクトルの基本

§2ベクトルの内積

§3位置ベクトル

§4ベクトルの図形への応用

§5空間ベクトル

ベクトルの基本

ベクトルの内積

位置ベクトル

ベクトルの図形への応用

空間ベクトル