練習問題

$\vec{a} = (2,\ -1)$、$\vec{b} = (-3,\ 4)$ のとき、次を求めよ。
(1) $\vec{a} + \vec{b}$
(2) $3\vec{a} - 2\vec{b}$
(3) $|\vec{a}|$

$\vec{a} = (1,\ 2)$、$\vec{b} = (3,\ 1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\vec{a} = (2,\ 1)$、$\vec{b} = (x,\ -4)$ が垂直になるように、$x$ の値を定めよ。

$\vec{a} = (3,\ -2)$、$\vec{b} = (x,\ 6)$ が平行になるように、$x$ の値を定めよ。

2点 $\mathrm{A}(1,\ 4)$、$\mathrm{B}(7,\ -2)$ について、線分 AB を $2:1$ に内分する点 P の座標と、線分 AB の中点 M の座標を求めよ。

$|\vec{a}| = 3$、$|\vec{b}| = 2$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、次を求めよ。
(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$
(2) $|\vec{a} - \vec{b}|$
(3) $|\vec{a} + 2\vec{b}|$

$\vec{a} = (3,\ 4)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ をすべて求めよ。

$\vec{a} = (1,\ 2)$、$\vec{b} = (2,\ 1)$、$\vec{c} = (4,\ 5)$ のとき、$\vec{c}$ を $m\vec{a} + n\vec{b}$ の形で表せ。

3点 $\mathrm{A}(-1,\ 2)$、$\mathrm{B}(2,\ 8)$、$\mathrm{C}(x,\ 4)$ が一直線上にあるとき、$x$ の値を求めよ。

$|\vec{a}| = 2$、$|\vec{b}| = 3$、$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

空間ベクトル $\vec{a} = (1,\ 1,\ 0)$、$\vec{b} = (1,\ 0,\ 1)$ について、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\triangle \mathrm{OAB}$ において、辺 OA の中点を M、辺 OB を $2:1$ に内分する点を N とし、線分 AN と線分 BM の交点を P とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ として、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表せ。

$|\vec{a}| = 2$、$|\vec{b}| = 1$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が $60^\circ$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値と、そのときの実数 $t$ の値を求めよ。

空間の4点 $\mathrm{A}(1,\ 0,\ 2)$、$\mathrm{B}(3,\ 1,\ 1)$、$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 4)$、$\mathrm{P}(x,\ 5,\ 5)$ が同一平面上にあるとき、$x$ の値を求めよ。