平面図形

図形の勉強を始める前に、まず「ことば」と「記号」をそろえましょう。2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を通ってまっすぐ限りなくのびた線を直線 $\mathrm{AB}$ といいます。直線のうち、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ までの部分を線分 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{A}$ を端として $\mathrm{B}$ の方向に限りなくのびた部分を半直線 $\mathrm{AB}$ といいます。「どこまでのびているか」で呼び方が変わることに注意しましょう。

角は、1つの点から出る2つの半直線がつくる図形です。点 $\mathrm{B}$ から出る半直線 $\mathrm{BA}$、$\mathrm{BC}$ がつくる角を $\angle \mathrm{ABC}$ と表します。真ん中の文字が角の頂点を表すという約束です。また、三角形 $\mathrm{ABC}$ は $\triangle \mathrm{ABC}$ と表します。

「距離」ということばにも、はっきりした意味があります。2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の間の距離とは、線分 $\mathrm{AB}$ の長さのことです。点 $\mathrm{P}$ と直線 $\ell$ の距離とは、$\mathrm{P}$ から $\ell$ にひいた垂線と $\ell$ との交点を $\mathrm{H}$ とするときの、線分 $\mathrm{PH}$ の長さのことです。垂線を使うのは、$\mathrm{P}$ から $\ell$ 上の点までひいた線分の中で、垂線がいちばん短いからです。

また、平行な2直線 $\ell$、$m$ では、$\ell$ 上のどの点から $m$ にひいた垂線の長さも一定です。この一定の長さを、平行な2直線 $\ell$、$m$ の距離といいます。

図形を、形も大きさも変えずに位置だけを変えることを移動といいます。中学1年では、平行移動・回転移動・対称移動の3つの移動を学びます。移動する前の点と、移動した後の点を、対応する点といいます。3つの移動は「対応する点どうしにどんな関係があるか」で見分けるのがコツです。

移動を組み合わせることもできます。たとえば、平行移動してから対称移動する、対称移動を2回続けて行う、などです。実は、2本の平行な直線について対称移動を2回続けると平行移動と同じ結果に、交わる2直線について対称移動を2回続けると回転移動と同じ結果になります。模様やタイルのしきつめは、こうした移動のくり返しでできています。

作図とは、定規とコンパスだけを使って図をかくことです。定規は直線をひく道具としてだけ使い、長さを測ることには使いません。コンパスは円をかく道具ですが、「等しい長さを写し取る」道具でもあります。作図の根拠はいつも「コンパスでかいた円の半径はどこでも等しい」という事実です。

なぜこの手順で垂直二等分線がかけるのでしょうか。手順の中の点 $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ は、どちらも $\mathrm{A}$ からと $\mathrm{B}$ からの距離が等しい点です($\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$、$\mathrm{QA} = \mathrm{QB}$、どれも円の半径だから)。「$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ から等しい距離にある点の集まり」がちょうど垂直二等分線なので、そのような2点 $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ を結べば垂直二等分線になるのです。

作図を使うと、いろいろな条件を満たす点を求められます。たとえば「2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ から等しい距離にある点」は垂直二等分線の上に、「角の2辺から等しい距離にある点」は角の二等分線の上にあります。問題文の条件を「垂直二等分線か、角の二等分線か、垂線か」に翻訳するのが、作図の応用問題を解くカギです。また、$90^\circ$ の角を作図してその二等分線をひけば $45^\circ$、正三角形を作図すれば $60^\circ$ がつくれるように、特別な大きさの角も作図できます。

円は、1つの点 $\mathrm{O}$(中心)から等しい距離にある点の集まりです。円周上の2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を両端とする円周の一部分を弧 $\mathrm{AB}$ といい、$\overset{\frown}{\mathrm{AB}}$ と書きます。また、2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を結ぶ線分を弦 $\mathrm{AB}$ といいます。弦の中でもっとも長いものが直径です。

円の弧を2つの半径で切り取った形をおうぎ形といい、2つの半径がつくる角を中心角といいます。半径 $r$ の円の周の長さは $2\pi r$、面積は $\pi r^2$ です(円周率は文字 $\pi$ で表します)。おうぎ形は円の一部なので、弧の長さも面積も、円全体のうち「中心角が $360^\circ$ のうちの何分のいくつか」という割合で求められます。